Статика твердого тела

Введение

1. Основные понятия статики

1.1. Абсолютно твёрдое тело

1.2. Свободное (несвободное тело)

1.3.

3.1. Приведение сходящейся системы сил к центру

3.2. Условия равновесия сходящейся системы

6. Связи. Силы реакций связей

5.5. Уравнения равновесия плоской произвольной системы сил

7.

Введение

Наука о механическом движении и взаимодействии
материальных тел называется теоретической механи-кой.

Круг проблем, рассматриваемых в механике, очень велик и с развитием

При изучении какого-либо явления необходимо выделять в нём наиболее существенное,

Таковыми и являются законы, теоремы и принципы теоретической механики, которые

Статика твёрдого тела

Статика – это раздел теоретической механики, в котором

Преобразование систем сил, действующих на твёрдое тело, в эквивалентные им системы

Абсолютно твёрдое тело – совокупность матери-альных точек, в которой расстояние между

Абсолютно твёрдое тело (в дальнейшем твёрдое тело или тело) называется свободным,

Тело, перемещениям которого в пространстве
препятствуют другие тела, называется несвободным, рис.

1.3. Сила. Система сил

Состояние покоя или движения тела зависит от

1.4. Проекция силы на ось

Проекция силы на ось есть алгебраическая

Пример 1

Определить проекцию силы F на ось x, если F = 10

1.5. Определение модуля силы

Пример 2

Определить модуль и направление силы, если её проекции на

Направляющие косинусы:

Углы в радианах между вектором силы и координатными

Задание 3

Определить модуль и направление силы, если её проекции на

1.6. Главный вектор системы сил

Вектор, равный геометрической сумме векторов сил,

Направление главного вектора определяется направ-ляющими косинусами

Задание 4

Определить модуль главного вектора сходящихся системы сил F1 = 10

Решение (С использованием пакета Mathcad)

Моментом силы относительно точки О называется вектор равный векторному произведению

Вектор момента приложен в точке О и направлен перпендикулярно плоскости,

Модуль вектора момента равен

где h – плечо силы (длина перпендикуляра,

Для сил, расположенных в одной плоскости применяется алгебраический момент.

Алгебраическим моментом

Момент считается положительным, когда сила стремится повернуть тело вокруг центра О

2) момент силы относительно точки равен нулю, когда линия действия силы

Пример 3

Балка АС находится в равновесии под действием системы сил, приведенной

Решение

Моменты сил XA, YA равны нулю, так как линии их действия

Находим моменты этих сил относительно точки А.

Находим сумму моменты сил.

Сумма моментов

1.8. Момент силы относительно оси

Чтобы оценить вращательный эффект, который создаёт

строим плоскость, перпендикулярную оси;

2) проецируем силу на эту плоскость;

3) находим плечо проекции силы относительно точки пересечения оси с плоскостью;

4) вычисляем произведение проекции силы на плечо;

5) определяем знак момента.

Момент силы относительно оси равен нулю, если:
сила параллельна оси;
линия действия силы

Момент силы относительно точки связан с моментом силы относительно оси,

Если известны углы которые составляет векторный момент силы относительно точки

Зная моменты силы относительно координатных осей,
найдём модуль момента силы относительно

1.9. Главный момент системы сил

Направление главного момента определяется направ-ляющими косинусами

Аксиома 1. Под действием двух сил тело находится в равновесии,

Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело

Аксиома 3. Две силы, приложенные к телу в одной точке,

Рис. 12

На первом рисунке равнодействующая двух сил приложена в точке

Модуль равнодействующей силы вычисляется по
формуле

Аксиома 4. Силы, взаимодействия двух тел равны по величине противоположны

3. Сходящаяся система сил

3. 1. Приведение сходящейся системы сил к центру

Приведём эту систему сил к центру С. Для этого применим

Таким образом, сходящаяся система сил приводится к одной силе –

3. 2. Условия равновесия сходящейся системы сил

Рассмотрим твёрдое тело, которое

В результате получим векторное условие равно-весия сходящейся системы сил: для

Так как главный вектор равен геометрической сумме сил, то эта

Введём координатные оси Оxyz и спроецируем векторную сумму сил

на

Если тело находится в равновесии под действием плоской сходящейся системы

3.3. Теорема о трёх силах

Теорема. Если тело находится в равновесии

4. Теория пар сил

Парой сил называется система двух параллельных, равных

Плоскость, проходящая через лини действия сил пары, называется плоскостью действия

Пары, расположенные в одной плоскости образуют плоскую систему пар, рис.

Действие пары сил на твёрдое тело сводится к вращательному эффекту,

Главный момент пары сил относительно центра О равен:

и направлен перпендикулярно плоскости действия пары сил, рис. 25, 26.

1) модуль момента пары равен произведению силы пары на её

2) вектор момента пары направлен перпендикулярно плоскости действия пары в

3) момент пары не зависит от положения пары относительно центра

Если рассматриваются пары сил, лежащие в одной плоскости, то эту

Момент считается положительным, если пара стремится вращать плоскость действия против

1) при переносе пары сил куда угодно в плоскости её действия;

2) при повороте пары сил в плоскости её действия;

3) при переносе пары сил из плоскости её действия в параллельную

4.3. Сложение моментов пар сил

Рассмотрим систему пар сил, плоскости действия

Векторы моментов пар – свободные векторы. Поэтому выберем произвольную точку

Складывая векторы моментов пар, получим многоугольник, замыкающей стороной которого будет

При сложении пар сил, расположенных в плоскости, моменты пар складываются

4.4. Условия равновесия пар сил

Если тело находится в равновесии под

Если тело находится в равновесии, под действием системы пар, расположенных

5.1. Теорема о параллельном переносе силы

Рассмотрим тело, на которое действует сила,

Таким образом, силу, не изменяя её действия на тело, можно

5.2. Теорема о приведении системы силы к центру

Рассмотрим твёрдое тело, на

Выберем произвольную точку тела О и перенесём в неё все

В результате в точке О будут приложены две группы векторов:

Таким образом: любую произвольную систему сил, действующую на твёрдое тело,

5.3. Условия равновесия
произвольной системы сил

Рассмотрим твёрдое тело, которое находится

Из приведенных равенств следует:

Таким образом, для того чтобы тело

5.4. Уравнения равновесия
произвольной системы сил

Запишем условия равновесия произвольной системы

Таким образом, если тело под действием приложенной к нему системы

Построим декартова координатные оси с началом в центре приведения сил.

В результате получим:

Используя связь между моментом силы относительно точки и моментом силы

Таким образом, если твёрдое тело находится в равновесии под действием

5.5. Уравнения равновесия
плоской произвольной системы сил

Система сил, линии действия

Плоская произвольная система сил является частным случаем пространственной произвольной системы

Таким образом, если твёрдое тело находится в равновесии под действием

Из представленных уравнений три уравнения для плоской произвольной системы сил

Здесь А, В, С – три произвольных центра, не лежащие

6. Связи и силы реакций связей

Свободное тело – твёрдое, не

Сила реакции связи – сила, с которой связь дей-ствует на

Если гладкое тело опирается на ребро, то сила реакции направлена

При действии тела ребром на гладкую поверхность
сила реакции направлена

Рис. 47

На практике сила реакции заменяется ее составляю-
щими, направленными в

Шарнирная подвижная опора - подвижная опора
(на роликах, скользящая), снабженная

Сферический шарнир - устройство, обеспечиваю-щее движение тела вокруг одной его

Невесомый стержень – это стержень, весом которого
по сравнению с

При расчёте ферм способом вырезания узлов все стержни, действующие на

Стержни, у которых расчётные реакции имеют знак (+) работают на растяжение,

Подпятник – устройство, обеспечивающее непо- движность конца вала (как правило,

Шероховатая поверхность - поверхность, трение
которой учитывают при решении задач.

В расчетах сила реакции шероховатой поверхности представляется в виде двух составляющих:

Сила реакции невесомой гибкой нерастяжимой нити направлена от рассматриваемого тела

Жесткая заделка («заделка») - связь, обеспечива-ющая неподвижное закрепление оконечности бруса.

Если брус находится под действием сил, расположенных произвольно в пространстве,

7. Решение задач статики

7.1. Рекомендации по решению задач

Рекомендуется придерживаться следующего

а) определить по условию задачи тело (узел), равно-весие которого необходимо

3. Определить, какая система сил действует на рас-сматриваемое тело, и

8. Центр тяжести

8.1. Равнодействующая двух параллельных сил

Рассмотрим две параллельные силы,

Равнодействующая двух параллельных сил, направ-ленных в одну сторону, равна сумме

откуда

Чтобы найти положение точки приложения равно-действующей двух параллельных сил, воспользуемся

Применяя теорему Вариньона:

получим:

Полученное равенство показывает, что положение точки С при повороте сил

Найдём центр параллельных сил, приложенных к твёрдому телу (см. рис.).

8.2.

Так как положение точки С от направления параллельных сил не

модуль которой равен

Применяем теорему Вариньона относительно оси y.

Отсюда определим xC.

Применяем теорему Вариньона относительно оси x.

Отсюда определим yC.

Повернём силы параллельно оси y и применим теорему Вариньона относительно

Отсюда определим zC.

8.3. Центр тяжести твёрдого тела

Центром тяжести твердого тела называется неизменно

Силы тяжести, действующие на каждую частицу твёрдого тела образуют систему

Если тело является однородным, то вес pk любой его частицы

Если твёрдое тело выполнено в форме пластины, то координаты его

Координаты центра тяжести линии определяются по следующим формулам:

где L –

8.4. Способы определения координат
центров тяжести тел

1. Симметрия. Если однородное

2. Разбиение. Если тело можно разбить на конечное число таких

3. Дополнение. Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он

Затем переходят к пределу, устремляя к нулю. Тогда стоящие в

Аналогично для координат центров тяжести плоского тела и весомой линии

5. Экспериментальные способы. Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации можно

Для определения координаты центра тяжести приме-няют экспериментальный способ. Поставив колесо

Применяют теорему Вариньона, в соответствии с которой сумма моментов сил