Статистические оценки параметров распределения.Доверительные интервалы

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Статистические оценки параметров распределения.Доверительные интервалы

Содержание

2. Требования к статистическим оценкам Точечные оценки Интервальные оценки. Доверительные интервалы
3. Виды статистических оценок Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин. Для
4. Несмещенной называют статистическую оценку Θ*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Θ при любом объеме выборки,
5. Состоятельной называют статистическую оценку, которая при n→∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Оценки бывают точечными,
6. Выборочная средняя Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности. взвешенная средняя
7. Выборочная дисперсия Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения
8. Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы её математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого
9. Исправленная дисперсия является, несмещённой оценкой генеральной дисперсии. Итак, в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию
10. Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой
11. При выборке малого объема точечная оценка может разительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым
12. Интервальные оценки Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок. Пусть найденная по данным выборки статистическая
13. Т.о., положительное число δ характеризует точность оценки. Однако, статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка
14. Доверительный интервал Доверительным интервалом называется случайный интервал (Θ* - δ; Θ* + δ) , который покрывает
15. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении t – параметр,
16. Смысл полученного соотношения таков: с надёжностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр ; точность
17. Доверительным вероятностям, как это видно из таблицы функции Лапласа, соответствуют следующие величины нормированных отклонений: вероятности γ
18. Примечание: при большом объеме выборки (n ≥ 30) значения t γ таблицы Стьюдента и t таблицы
19. Пример Для определения средней живой массы трехмесячного теленка определенной породы были взвешены 100 животных и результаты
20. Найти: величины, которые следует принять за среднюю массу и среднее квадратическое отклонение; ошибку средней и коэффициент
21. Вычисляем выборочную исправленную дисперсию
22. Находим исправленное выборочное среднее квадратичное отклонение
23. 3) Поскольку n = 100 > 30 и у нас случай нормального распределения, то доверительный интервал
24. Из условия 2Φ(t γ) = 0.95 определяем Φ(t γ) = 0,475, а по таблице приложений находим
25. Замечание: если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью δ и надежностью γ, то максимальный
26. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения σ нормального распределения.
28. Скачать презентацию

Слайд 2

Требования к статистическим оценкам
Точечные оценки
Интервальные оценки.
Доверительные интервалы

Слайд 3

Виды статистических оценок
Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от

наблюдаемых случайных величин.
Для того, чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям.

Слайд 4

Несмещенной называют статистическую оценку Θ*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру

Θ при любом объеме выборки, т.е. M(Θ*) = Θ.
Смещенной, если M(Θ*) ≠ Θ.
Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

Слайд 5

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при n→∞ стремится по вероятности к

оцениваемому параметру.
Оценки бывают точечными, которые определяются одним числом.

Слайд 6

Выборочная средняя
Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.
взвешенная средняя

Слайд 7

Выборочная дисперсия
Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака

от их среднего значения .

Слайд 8

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы её математическое ожидание было равно

генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить на дробь .
Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через :

Слайд 9

Исправленная дисперсия является, несмещённой оценкой генеральной дисперсии.
Итак, в качестве оценки генеральной

дисперсии принимают исправленную дисперсию

Слайд 10

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего

среднего значения пользуются сводной характеристикой – средним квадратическим отклонением.
Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартным) называют квадратный корень из выборочной дисперсии: .
Для оценки же среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии

Слайд 11

При выборке малого объема точечная оценка может разительно отличаться от оцениваемого

параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам.
По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Слайд 12

Интервальные оценки
Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.
Пусть найденная по

данным выборки статистическая характеристика Θ* служит оценкой неизвестного параметра Θ.
Если δ > 0 и │Θ – Θ*│< δ, то чем меньше δ, тем оценка точнее.

Слайд 13

Т.о., положительное число δ характеризует точность оценки.
Однако, статистические методы не позволяют

категорически утверждать, что оценка Θ* удовлетворяет неравенству │Θ – Θ*│< δ; можно лишь говорить о вероятности γ, с которой это неравенство осуществляется.

Слайд 14

Доверительный интервал
Доверительным интервалом называется случайный интервал (Θ* - δ; Θ* +

δ) , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью γ.
Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ю.Нейман, исходя из идей английского статистика Р.Фишера.

Слайд 15

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем

квадратическом отклонении
t – параметр, величину которого находят по таблицам Лапласа из соотношения γ=2Φ(t).

Слайд 16

Смысл полученного соотношения таков: с надёжностью можно утверждать, что доверительный интервал

покрывает неизвестный параметр ; точность оценки .
Укажем ещё, что число t определяется из равенства , или ; по таблице
функции Лапласа находят аргумент t, которому соответствует значение функции Лапласа, равное .

Слайд 17

Доверительным вероятностям, как это видно из таблицы функции Лапласа, соответствуют следующие

величины нормированных отклонений:
вероятности γ =0,95 соответствует t1 = 1,96; вероятности γ = 0,99 соответствует t2 = 2,58; вероятности γ = 0,999 соответствует t3= 3,29.
Выбор того или иного порога доверительной вероятности исследователь осуществляет исходя из практических соображений той ответственности, с какой делаются выводы о генеральных параметрах.

Слайд 18

Примечание: при большом объеме выборки (n ≥ 30) значения t γ

таблицы Стьюдента и t таблицы Лапласа практически равны. Поэтому выбор формулы, по которой определяют доверительный интервал, диктуется исходными данными.

Слайд 19

Пример
Для определения средней живой массы трехмесячного теленка определенной породы были взвешены

100 животных и результаты сведены в таблицу

Слайд 20

Найти:
величины, которые следует принять за среднюю массу и среднее квадратическое

отклонение;
ошибку средней и коэффициент вариации;
доверительный интервал, в котором с вероятностью 0,95 заключена средняя масса.

Слайд 21

Вычисляем выборочную исправленную дисперсию

Слайд 22

Находим исправленное выборочное среднее квадратичное отклонение

Слайд 23

3) Поскольку n = 100 > 30 и у нас случай

нормального распределения, то доверительный интервал находим по формуле

Слайд 24

Из условия 2Φ(t γ) = 0.95 определяем Φ(t γ) = 0,475,

а по таблице приложений находим t γ = 1,96.
Поэтому
или 31,3 < a < 32,7 кг – доверительный интервал для заданной вероятности.

Слайд 25

Замечание: если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью δ

и надежностью γ, то максимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, находится по формуле

Слайд 26

Статистические оценки параметров распределения.Доверительные интервалы

Содержание

Требования к статистическим оценкамТочечные оценкиИнтервальные оценки.Доверительные интервалы

Виды статистических оценокСтатистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от