Теория множеств

Георг Кантор

(03.03.1845 - 06.01.1918)
немецкий математик.

Бертран Расселл

18 мая 1872 — 2 февраля 1970 —
английский математик,

Феликс Эдуард Жустин Эмиль Борель

(7 января 1871 — 3 февраля 1956) —
французский

Понятие множества

Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых

Введение в теорию множеств 1. Основные определения, терминология

Под множеством А мы

Определение 1
Множество А называется подмножеством В, если для любого х (

Определение 3
Множества А и В называются равными, если они состоят из

2. Операции над множествами
Определение 1
Объединением двух множеств А и В называется

Объединение множеств

Теорема 2
Пусть А, В, С – произвольные множества. Тогда:
а) – идемпотентность

Пересечение множеств

Определение 4
Пересечением множеств А и В называется множество
Пример
Пусть A={1,2,4,7,8,9}, B={1,3,5,7,8,10},

Теорема 5
Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда:
а) - идемпотентность пересечения;
б)

Объединение и пересечение множеств

Теорема 6
1)
2)
3)
4)

Разность множеств, дополнение, симметрическая разность
Определение 1
Разностью множеств A и B

Разность множеств
Теорема 2
Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда:
1)
2)
3)
4)
Теорема 3 (законы

Множество U назовем "универсальным", если оно содержит все элементы и

Дополнение множеств

Определение 4
Пусть U – универсальное множество. Дополнением А в U
(или

Дополнение множеств

Теорема 5
1)
2)
3)
Теорема 6(законы Моргана для дополнений)
а) ;
б) .

Симметрическая разность

Определение 7
Симметрической разностью множеств A и B называют множество
Задача (3

Парадокс Расселла

Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в

Другие формулировки парадокса Расселла

Парадокс Брадобрея:
Одному деревенскому брадобрею приказали «брить всякого, кто

Решение задач

1. Вычисление множеств

Дано
U={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11},
A={1;2;3;7;9},
B={3;4;5;6;10;11},
C={2;3;4;7;8},
D={1;7;11}.
Вычислить множества
1)
2)
3)
4)
5)

2. Выражение множеств

Пусть U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9},
A={1,

3. Изображение множеств с помощью кругов Эйлера

Изобразить с помощью кругов

3. Изображение множеств с помощью кругов Эйлера

3)

4)

4. Выражение множеств, заданных с помощью кругов Эйлера

4. Выражение множеств, заданных с помощью кругов Эйлера

Декартово произведение

Декартово произведение

Под упорядоченной парой (а; b) мы будем понимать двухэлементное

Декартово произведение

Определение 2
а) Множество
называется декартовым произведением n множеств;
б) -

Декартово произведение

Задача

Изобразить множество

Пример

Очевидно, что , где R- множество действительных чисел,
описывает

Декартово произведение

Теорема 3
Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда