Напряжения. Связь внутренних усилий и напряжений

Поскольку внутренние силы, представляют собой поверхностные силы, приложенные к поперечному сечению оставленной части, то интенсивность этих сил, называемое полным напряжением, определяется как указано ранее:
Размерность этого напряжения совпадает с размерностью поверхностной нагрузки (Н/м2, МПа = 106 Н/м2).

Полное напряжение, как и равнодействующая внутренних сил, приложенных на элементарной площадке, является векторной величиной и может быть разложено на две составляющие: перпендикулярное к рассматриваемой площадке – нормальное напряжение σn и касательное к площадке – касательное напряжение τn:

Касательное напряжение, в свою очередь, может быть разложено на две составляющие, параллельные координатным осям x, y, связанным с поперечным сечением - τnx , τny :

При анализе напряжений в окрестности рассматриваемой точки выделяется бесконечно малый объемный элемент (параллелепипед со сторонами dx, dy, dz), по каждой грани которого действуют, в общем случае, три напряжения, например, для грани, перпендикулярной оси x (площадка x) – σx, τxy, τxz :

Компоненты напряжений по трем перпендикулярным граням элемента образуют
систему напряжений, описываемую так называемым тензором напряжений:

этих реакций в статически неопределимых системах уравнений
равновесия недостаточно и следует дополнительно рассматривать перемещения,
связанные с внутренними усилиями и напряжениями, а также физические соотношения упругости.
Задача определения напряжений в силу интегральности соотношений с внутренними
усилиями всегда статические неопределима и необходимо дополнительно рассматривать деформации тела с целью определения закона распределения напряжений по сечению.

Здесь первый столбец представляет компоненты напряжений на площадках, нормальных к оси x, второй и третий – к оси y и z соответственно. Первый
индекс указывает площадку (“место”) действия, второй – направление. Для нормальных напряжений индексы совпадают и один индекс опускается.

с внешними силами, приложенными к оставленной части бруса при его сечении. С другой стороны внутренние усилия есть результат приведения к центру поперечного сечения внутренних сил, приложенных к элементарным площадкам (напряжений), выполняемое сложением, которое для элементарных сил сводится к интегрированию по площади поперечного сечения.

Связь внутренних усилий и напряжений

Выполнение этой операции
для каждого из внутренних усилий
приводит к следующим
интегральным выражениям:

Таким образом, в целом связь внешних сил, внутренних усилий и напряжений такова:

положение вследствие изменения формы и размеров тела под действием нагрузки.
Полное перемещение точки в пространстве раскладывается на компоненты u, v и w, параллельные осям x, y и z, соответственно.
Перемещения рассматриваемой точки зависит от деформации всех нагруженных областей тела и включают в себя перемещения как жесткого
целого ненагруженных областей. Таким образом, перемещения не могут характеризовать степень деформирования в окрестности
рассматриваемой точки.
■ Деформация в точке – мера деформирования материала в ее окрестности. Выделим в рассматриваемой точке тела элементарный
объем (параллелепипед со сторонами dx, dy, dz) и рассмотрим его возможные изменения размеров и формы.

y

z

x

Пусть за счет деформации длины его ребер получат абсолютные удлинения Δdx, Δdy и Δdz:

dx

dz

dy

Δdx

Δdz

Δdy

Относительные линейные деформации в точке:

Кроме линейных деформаций, связанных с изменением размеров линейных элементов возникают угловые деформации или
углы сдвига, связанные с изменением формы.
Например, в плоскости xy могут возникать малые
изменения первоначально прямых углов параллелепипеда:

Такие угловые деформации в общем случае могут иметь место во всех трех
плоскостях. Все относительные деформации весьма малы и имеют для реальных
материалов порядок ≈10-4-10-3.
Таким образом, совокупность относительных линейных и угловых деформаций определяют деформированное
состояние в точке и образуют тензор деформаций, подобный тензору напряжений:
Примечание: Половинные углы сдвига используются в целях получения аналогичных формул преобразования с тензором напряжений.

В зависимости от того, какие из компонент относительных деформаций имеют нулевое значение
в рассматриваемой области или для всего тела различают следующие простые виды деформаций:
Линейная деформация – εz ≠ 0, углы сдвига равны нулю, остальными линейными относительными деформациями пренебрегается
(характеризуется абсолютным и относительным удлинением).
Плоская деформация – εz ≠ 0, εx ≠ 0 или εy ≠ 0, остальные относительные деформации равны нулю (характеризуется абсолютным и
относительным сужением площади поперечного сечения). Эти виды деформаций обычно реализуются при растяжении-сжатии.
Объемная деформация – εz ≠ 0, εx ≠ 0, εy ≠ 0, углы сдвига равны нулю(характеризуется абсолютным и относительным изменением объема).
Чистый сдвиг – линейные относительные деформации равны нулю, углы сдвига не равны нулю (характеризуется изменением формы,
изменение объема не происходит). Это вид деформации также возникает при кручении.
В соответствии с видом деформации вначале последовательно изучают такие простейшие напряженно-деформированные состояния как
растяжение-сжатие, чистый сдвиг и кручение, чистый изгиб. Далее изучаются более сложные – поперечный изгиб, сложное сопротивление,
продольный изгиб.

растяжении-сжатии в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой
фактор – продольная сила N. В соответствии с методом сечений величина и направление продольной силы может быть найдены из
уравнения равновесия в проекции на ось, совпадающую с осью стержня, составленного для оставленной части:
Продольная сила считается положительной, если она вызывает растяжение, т.е. направлена от сечения (в сторону внешней нормали), и отрицательной, если она вызывает сжатие, т.е. направлено к сечению.

■ Определение внутренних усилий – Внутренние усилия определяются методом сечений в совокупности точек по длине бруса с целью
обнаружения их максимальных значений. График изменения внутреннего усилия по оси бруса называется эпюрой.
Общий порядок построения эпюр внутренних усилий:
Если необходимо, то определяются опорные реакции так, как это делается в курсе теоретической механики (выбрать объект, отбросить
связи, заменить отброшенные связи реакциями, составить уравнения равновесия). Реакции можно не находить, если они не входят в число
внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемых сечений.
Определяется число участков по длине бруса, на которых нагрузка или геометрия бруса не изменяется. Границей участка является любой
фактор, влияющий на резкое (скачкообразное) изменение рассматриваемого внутреннего усилия (начало или конец бруса, перелом оси бруса,
место расположения опоры, точка приложения внешней сосредоточенной силы или другого фактора, например, сосредоточенного момента,
начало или конец распределенной нагрузки).
На каждом из участков проводится сечение, отстоящее от начала участка на некотором произвольном (переменном) расстоянии. Для
каждого сечения указывается текущая координата (z) от начала участка или от начала бруса и записываются пределы изменения координаты.
При выборе начала локальных координат в начале участка нижний предел всегда равен нулю.
Для рассматриваемого сечения определяется выражение внутреннего усилия в функции от координаты z рассмотрением равновесия
оставленной части или используя установленные определения для вычисления внутреннего усилия по внешним силам, расположенным по одну
сторону от сечения.
По полученным выражениям строится эпюра изменения усилия подстановкой верхнего и нижнего пределов, и если необходимо,
других значений координат в разрешенном интервале, обычно в середине интервала.

Пусть прямолинейный брус нагружен продольными силами F1, F2:

Реакции левой опоры можно не определять, т.к. в этом примере можно ограничиться рассмотрением
лишь сил, приложенных к правым оставленным частям (справа от сечений).

2. Число участков - 3

3. Проведем сечение I-I на первом участке и определим текущую координату сечения и пределы ее
изменения: 0 ≤ z1 ≤ a.

4. Отбросим левую часть, заменим ее действие продольной силой NI-I
и составим уравнение равновесия в проекции на ось z :

NI-I

Из уравнения равновесия получаем выражение для продольной силы на участке 1 :

Повторяем шаги 3 и 4 для следующих участков:

3. Проведем сечение II-II на втором участке и определим текущую координату сечения и пределы ее
изменения: 0 ≤ z2 ≤ b.

4. Отбросим левую часть, заменим ее действие продольной силой NII-II
и составим уравнение равновесия в проекции на ось z :

NII-II

Из уравнения равновесия получаем выражение для продольной силы на участке 2 :

Аналогично получаем для участка 3 (0 ≤ z3 ≤ c):

Полученные выражения показывают, что продольная сила в сечении равна алгебраической сумме
проекций на ось бруса сил, взятых по одну сторону от сечения!

Знак слагаемых положителен, если рассматриваемая сила направлена
от сечения, т.е. будучи приложена к сечению вызывает растяжение части бруса по другую сторону
от сечения.

Используя полученные выражения для продольной силы построим эпюру продольных сил:
При построении эпюры N, положительные значения обычно откладываются вверх от базисной линии
или вправо, если она вертикальна.
Пусть F1=250 кН, F2=100 кН. Откладывая не каждом из участков значения продольной силы в некотором
выбранном масштабе получаем эпюру N:

Обратите внимание, что скачки на эпюре N располагаются в точках приложения внешних
сосредоточенных сил и равны величинам этих сил. Соответственно скачок на левом конце
эпюры дает величину опорной реакции.