Теория вероятностей

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Теория вероятностей

Содержание

2. ЛЕКЦИЯ № 1 по дисциплине «Физика, математика» на тему: «Основы теории вероятностей» для курсантов и студентов
3. Кафедра биологической и медицинской физики — одна из первых кафедр Военно-медицинской академии и старейшая кафедра физики
4. Здание Естественно-исторического института
5. Первым профессором кафедры стал Василий Владимирович Петров (1761—1834) — знаменитый русский ученый-естествоиспытатель, заложивший основы преподавания экспериментальной
6. Понятие "Evidence-based Medicine", или "медицины, основанной на доказательствах" (доказательной медицины) было предложено канадскими учеными из университета
7. Доказательная медицина подразумевает добросовестное, точное и осмысленное использование лучших результатов клинических исследований для выбора лечения конкретного
8. Увеличение объема научной информации, в частности в области клинической фармакологии. Нехватка средств, связанных с расходами на
9. Авторитет врача ("увеличение числа однотипных ошибок с увеличением стажа работы") Страстность ("эмоциональное воздействие на более спокойных
10. По современным стандартам надежная оценка эффективности методов лечения и профилактики может быть получена только в ходе
11. По окончании исследования сопоставляются частоты наступления клинически важных исходов – выздоровления, осложнения, смерти, а не суррогатные
12. Для получения выводов исследования необходимо учитывать неопределенность многих характеристик, а также конечность числа наблюдений. Наиболее приемлемым
13. «Статистика – это совокупность методов, которые дают нам возможность принимать оптимальные решения в условиях неопределенности» (А.
14. 1. Случайные события. Предмет теории вероятности. Определение вероятности (статистическое и классическое).
15. Случайные события – это явления и факты, которые при различных условиях могут происходить или не происходить.
16. Изучение закономерностей однородных массовых (статистических)случайных событий составляет предмет теории вероятности и основанной на ней математической статистики.
17. Изучение каждого отдельного явления с выполнением определенного комплекса условий называется испытанием (опытом, экспериментом). Всякий результат или
18. Возможность появления каждого события определяется специальной величиной – вероятностью наступления события – Р(А). Вероятность Р(А) –
19. В «классическом» определении вероятности вероятность случайного события определяется как отношение числа равновозможных исходов опыта, благоприятствующих наступлению
20. Из классического определения вероятности вытекает ряд ее свойств: Вероятность достоверного события, то есть события, которое происходит
21. Классическое определение вероятности случайного события применимо только к испытаниям с конечным числом исходов, причем исходов равновероятных.
22. Вероятностью случайного события называется предел, к которому стремится относительная частота события (частость)при неограниченном увеличении числа испытаний.
23. В отличие от классического подхода к определению вероятности случайного события, в соответствии с которым для нахождения
24. Статистическую вероятность события нельзя точно определить на основании конечного числа испытаний, каким бы большим оно ни
25. Пусть проведено 5 серий по 100 выстрелов в цель, осуществленных одним и тем же спортсменом в
26. Относительная частота попаданий в цель не является величиной постоянной, а изменяется от серии к серии. Эта
27. 2. Классификация событий. Понятие о совместных и несовместных, зависимых и независимых событиях. Теоремы сложения и умножения
28. а) Достоверными, невозможными и случайными; б) Противоположное событие – происходит только тогда, когда событие А не
29. в) Эквивалентные события – события с одинаковой вероятностью, независимо от их природы: Р(А) = Р(В); г)
30. д) Независимые события – вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В. В
31. В ряде случаев вычислить вероятность события оказывается проще, если представить его в виде комбинации более простых
32. Вероятность появления одного (безразлично какого) события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р
33. Например, вероятность выпадения четного числа на верхней грани игральной кости: Р (2 или 4 или 6)
34. Вероятность одновременного появления двух или более независимых событий равна произведению их вероятностей. Р (А и В
35. Пример: Найти вероятность того, что в семье из трех детей родятся два сына и одна дочь.
36. Если вероятность события А меняется в связи с появлением или непоявлением события В, то событие А
37. Вероятность появления двух зависимых событий одновременно равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго
38. Пример: студент пришел на экзамен, зная 40 вопросов из 50. Найти вероятность того, что он ответит
39. Искомая вероятность: Р (АхВхС) = Р (А) х Р (В/А) х Р (С/АхВ) = = 40/50
40. 3. Непрерывные и дискретные случайные величины. Распределения дискретных случайных величин, их характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее
41. Науку об измерениях физических величин и способах обеспечения необходимой точности этих измерений называют метрологией. Под физической
42. Основой для количественной оценки физической величины является единица измерения физической величины. Единицы измерения физических величин группируются
43. В Международной системе единиц (СИ) основными единицами являются метр (м), килограмм массы (кг), секунда (с), моль
44. Величины, которые в зависимости от стечения случайных обстоятельств могут принимать различные значения, причем заранее неизвестно, какое
45. Случайная величина называется дискретной, если совокупность всех ее возможных значений представляет собой конечное или бесконечное, но
46. Вероятность того, что дискретная случайная величина Х в i-м опыте примет значение xi, равна pi =
47. Закон или функция распределения могут быть заданы графически, аналитически или в форме таблицы. Пример: Имеется 10
48. Возможными значениями рассматриваемой случайной величины являются (в порядке возрастания) 8, 9, 10, 11 и 12. Вероятность
49. Искомый закон распределения имеет вид:
50. На практике закон распределения дискретной случайной величины часто неизвестен, но для определения особенностей случайной величины используют
51. Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений этой величины на вероятности этих значений.
52. Например, если использовать данные предыдущего примера, то математическое ожидание M (X) = 8 . 0,2 +
53. Отдельные значения случайной величины группируются около математического ожидания. Степень рассеивания (разброса) характеризуется дисперсией. Дисперсией называется математическое
54. На практике дисперсию часто удобнее вычислять по формуле: D (X) = σ2 = M (X 2)
55. Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением) случайной величины называют корень квадратный из дисперсии. Для нашего примера σ
56. Случайная величина, принимающая любые значения в определенном интервале, называется непрерывной. Примеры: мгновенные значения скорости теплового движения
57. Так как невозможно перечислить все значения непрерывной случайной величины и указать их вероятности, то промежуток между
58. Плотность вероятности, или функция распределения вероятностей [f (x)], показывает, как изменяется вероятность dP, отнесенная к интервалу
59. Вероятность того, что случайная величина принимает какое-либо значение в интервале (a,b):
60. Условие нормирования непрерывной случайной величины:
61. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины рассчитываются по формулам:
62. Нормальный закон распределения (закон Гаусса): Примеры распределений непрерывных случайных величин: Нормальный закон распределения
63. Здесь: a = M(x) – математическое ожидание случайной величины, σ – среднее квадратическое отклонение (соответственно, σ2
64. Графически нормальное распределение имеет вид:
65. Кривая имеет колоколообразную форму, симметричную относительно точки х = a. Величина f (X ) в этой
66. При изменении параметра a форма нормальной кривой не изменяется, график сдвигается влево или вправо. При изменении
67. Важное значение нормального распределения во многих областях науки, например, в математической статистике и статистической физике, вытекает
68. Непрерывная случайная величина X, функция плотности вероятности которой задается выражением называется случайной величиной, имеющей показательное, или
71. Скачать презентацию

Слайд 2

ЛЕКЦИЯ № 1
по дисциплине «Физика, математика»
на тему: «Основы теории вероятностей»
для курсантов

и студентов I курса ФПВ, ФПиУГВ, спецфакультета

ВОЕННО–МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ имени С.М. Кирова Кафедра биологической и медицинской физики

Слайд 3

Кафедра биологической и медицинской физики — одна из первых кафедр Военно-медицинской

академии и старейшая кафедра физики в России (образована в 1795 г.).

Слайд 4

Здание Естественно-исторического института

Слайд 5

Первым профессором кафедры стал Василий Владимирович Петров (1761—1834) — знаменитый русский

ученый-естествоиспытатель, заложивший основы преподавания экспериментальной физики в России.

Слайд 6

Понятие "Evidence-based Medicine", или "медицины, основанной на доказательствах" (доказательной медицины) было

предложено канадскими учеными из университета Мак Мастера в Торонто в 1990 году.

Понятие о доказательной медицине

Слайд 7

Доказательная медицина подразумевает добросовестное, точное и осмысленное использование лучших результатов клинических

исследований для выбора лечения конкретного больного.

Слайд 8

Увеличение объема научной информации, в частности в области клинической фармакологии.
Нехватка средств,

связанных с расходами на здравоохранение.

Почему возникла необходимость в доказательной медицине?

Слайд 9

Авторитет врача ("увеличение числа однотипных ошибок с увеличением стажа работы")
Страстность

("эмоциональное воздействие на более спокойных коллег и родственников больных")
Внешний облик врача и его красноречие ("хороший загар, шелковый галстук, вальяжная поза и красноречие как замена доказанным фактам")
Провидение ("когда неизвестно, что делать с больным, вместо обоснованного решения полагаются на волю божью")
Чувство неуверенности ("от чувства растерянности и отчаяния решения вовсе не принимаются")
Нервозность ("в условиях постоянного страха перед судебным процессом врач назначает чрезмерное обследование и лечение")
Самоуверенность ("в основном у хирургов")

В основе медицинской практики, не основанной на доказанных фактах, лежат:

Слайд 10

По современным стандартам надежная оценка эффективности методов лечения и профилактики может

быть получена только в ходе рандомизированных контролируемых клинических исследований – наиболее доказательных и объективных.

Слайд 11

По окончании исследования сопоставляются частоты наступления клинически важных исходов – выздоровления,

осложнения, смерти, а не суррогатные исходы – изменения физиологических, биохимических, иммунологических и других параметров.

Слайд 12

Для получения выводов исследования необходимо учитывать неопределенность многих характеристик, а также

конечность числа наблюдений. Наиболее приемлемым инструментом в этом случае оказываются методы теории вероятностей и медицинской статистики.

Слайд 13

«Статистика – это совокупность методов, которые дают нам возможность принимать оптимальные

решения в условиях неопределенности» (А. Вальд, американский математик).

Слайд 14

1. Случайные события. Предмет теории вероятности. Определение вероятности (статистическое и классическое).

Слайд 15

Случайные события – это явления и факты, которые при различных условиях

могут происходить или не происходить.
Количественная оценка закономерностей, относящихся к случайным событиям, дается в разделе математики, называемом теорией вероятности.

Слайд 16

Изучение закономерностей однородных массовых (статистических)случайных событий составляет предмет теории вероятности и

основанной на ней математической статистики.

Слайд 17

Изучение каждого отдельного явления с выполнением определенного комплекса условий называется испытанием

(опытом, экспериментом).
Всякий результат или исход испытания называется событием.
События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита A, B, C…

Слайд 18

Возможность появления каждого события определяется специальной величиной – вероятностью наступления события

– Р(А).
Вероятность Р(А) – числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного случайного события А при многократном повторении испытаний.

Слайд 19

В «классическом» определении вероятности вероятность случайного события определяется как отношение числа

равновозможных исходов опыта, благоприятствующих наступлению события, к общему числу равновозможных исходов.
Р(А) = m/n

Два способа определения вероятности:

Слайд 20

Из классического определения вероятности вытекает ряд ее свойств:
Вероятность достоверного события, то

есть события, которое происходит неизбежно в результате каждого испытания, равна 1.
Вероятность невозможного события равна 0.
Вероятность любого события удовлетворяет неравенству
0 ≤ Р(А) ≤ 1.

Слайд 21

Классическое определение вероятности случайного события применимо только к испытаниям с конечным

числом исходов, причем исходов равновероятных. Однако на практике часто рассматривают испытания, не удовлетворяющие этим условиям. В этом случае пользуются статистическим определением вероятности.

Слайд 22

Вероятностью случайного события называется предел, к которому стремится относительная частота

события (частость)при неограниченном увеличении числа испытаний.
Р(А) = lim m/n n→∞
Здесь m – число событий; n –число испытаний.

Статистическое определение вероятности:

Слайд 23

В отличие от классического подхода к определению вероятности случайного события, в

соответствии с которым для нахождения вероятности случайного события нет необходимости проводить реальные испытания, а достаточно теоретически изучить особенности их проведения, при статистическом подходе требуется проведение таких испытаний;

Из этого определения следует, что

Слайд 24

Статистическую вероятность события нельзя точно определить на основании конечного числа испытаний,

каким бы большим оно ни было. Однако статистическую вероятность можно оценить приближенно по величине соответствующей относительной частоты.

Слайд 25

Пусть проведено 5 серий по 100 выстрелов в цель, осуществленных одним

и тем же спортсменом в одинаковых условиях.

Слайд 26

Относительная частота попаданий в цель не является величиной постоянной, а изменяется

от серии к серии.
Эта относительная частота не изменяется произвольно, а варьирует относительно среднего значения, равного 0,98.
Статистическую вероятность попадания в цель можно принять примерно равной 0,98.

Из таблицы очевидно, что:

Слайд 27

2. Классификация событий. Понятие о совместных и несовместных, зависимых и независимых

событиях. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Слайд 28

а) Достоверными, невозможными и случайными;
б) Противоположное событие – происходит только тогда,

когда событие А не происходит;
Сумма вероятностей наступления случайного события А и противоположного ему события В равна 1.
Р (А) + Р (В) = 1

События могут быть:

Слайд 29

в) Эквивалентные события – события с одинаковой вероятностью, независимо от их

природы: Р(А) = Р(В);
г) Несовместные события, если в условиях испытания каждый раз возможно появление только одного из них, т.е. никакие два не могут появиться вместе в этом испытании.
В противном случае события называются совместными.

Слайд 30

д) Независимые события – вероятность события А не зависит от того,

произошло ли событие В.
В противном случае события называются зависимыми.

Слайд 31

В ряде случаев вычислить вероятность события оказывается проще, если представить его

в виде комбинации более простых событий.
Этой цели служат некоторые теоремы теории вероятностей.

Слайд 32

Вероятность появления одного (безразлично какого) события из нескольких несовместных событий равна

сумме вероятностей этих событий.
Р (А или В или С) = Р(А) + Р(В) + Р(С)

Теорема сложения вероятностей

Слайд 33

Например, вероятность выпадения четного числа на верхней грани игральной кости:
Р (2

или 4 или 6) = Р (2) + Р (4) + Р (6) =
= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Слайд 34

Вероятность одновременного появления двух или более независимых событий равна произведению их

вероятностей.
Р (А и В и С) = Р (А) . Р (В) . Р(С)

Теорема умножения вероятностей

Слайд 35

Пример: Найти вероятность того, что в семье из трех детей родятся

два сына и одна дочь.
Вероятность рождения мальчика Р (А) =
=Р (В) = 0,515; вероятность рождения девочки Р(С) = 0,485.
Р (А и В и С) = 0,515 . 0,515 . 0,485 = 0,129.

Слайд 36

Если вероятность события А меняется в связи с появлением или непоявлением

события В, то событие А называется зависимым от события В.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело событие В, называется условной вероятностью события А; обозначение Р (А/В).

Слайд 37

Вероятность появления двух зависимых событий одновременно равна произведению вероятности одного из

них на условную вероятность второго при условии, что первое событие осуществилось.
Р (А и В) = Р (А) . Р (В/А)

Слайд 38

Пример: студент пришел на экзамен, зная 40 вопросов из 50. Найти

вероятность того, что он ответит на 3 вопроса билета.
Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос: Р(А) = 40/50 = 4/5.
Вероятность того, что он ответит на второй вопрос, вычисленная при условии, что он ответил на первый вопрос, т.е. условная вероятность, равна: Р (В/А) = 39/49.
Вероятность того, что студент ответит на третий вопрос, при условии, что он ответил на первые 2 вопроса: Р (С/АхВ) = 38/48.

Слайд 39

Искомая вероятность:
Р (АхВхС) = Р (А) х Р (В/А) х

Р (С/АхВ) =
= 40/50 х 39/49 х 38/48 = 0,5.

Слайд 40

3. Непрерывные и дискретные случайные величины. Распределения дискретных случайных величин, их

характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

Слайд 41

Науку об измерениях физических величин и способах обеспечения необходимой точности этих

измерений называют метрологией.
Под физической величиной мы понимаем характеристику материальных объектов и явлений, которая может быть количественно оценена (т.е. измерена).

Слайд 42

Основой для количественной оценки физической величины является единица измерения физической величины.

Единицы измерения физических величин группируются в системы единиц.

Слайд 43

В Международной системе единиц (СИ) основными единицами являются метр (м), килограмм

массы (кг), секунда (с), моль (М), ампер (А), кандела (кд), кельвин (К).
Все остальные единицы являются производными от основных (например, единица скорости (м/с), единица давления (Н/м2) и т.п.

Слайд 44

Величины, которые в зависимости от стечения случайных обстоятельств могут принимать различные

значения, причем заранее неизвестно, какое именно значение, называются случайными величинами.
Случайные величины принято обозначать заглавными буквами «второй половины» латинского алфавита (X, Y, Z), а их возможные значения – строчными буквами, например - x1, x2, x3, …, xn.

Слайд 45

Случайная величина называется дискретной, если совокупность всех ее возможных значений представляет

собой конечное или бесконечное, но обязательно счетное множество значений.
Примеры: число букв на странице книги, число волос на голове человека, количество очков, выпадающих при броске игральной кости, число больных на приеме у врача в течение дня и т.п.

Слайд 46

Вероятность того, что дискретная случайная величина Х в i-м опыте примет

значение xi, равна pi = P (X=xi).
Законом (или функцией) распределения дискретной случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между всеми возможными значениями этой случайной величины (xi )и соответствующими им вероятностями (pi ).

Слайд 47

Закон или функция распределения могут быть заданы графически, аналитически или в

форме таблицы.
Пример: Имеется 10 студенческих групп, насчитывающих соответственно 12, 10, 11, 8, 12, 9, 10, 8, 10 и 11 студентов. Составить закон распределения случайной величины Х, определяемой как число студентов в наугад выбранной группе.

Слайд 48

Возможными значениями рассматриваемой случайной величины являются (в порядке возрастания) 8, 9,

10, 11 и 12.
Вероятность того, что х1 = 8 (событие А), равна Р (А) = 2/10 = 0,2.
Вероятность того, что х2 = 9 (событие В), равна Р (В) = 1/10 = 0,1.
Вероятность того, что х3 = 10 (событие С), равна Р (С) = 3/10 = 0,3.
Вероятности для х4 и х5 = 0,2.

Слайд 49

Искомый закон распределения имеет вид:

Слайд 50

На практике закон распределения дискретной случайной величины часто неизвестен, но для

определения особенностей случайной величины используют основные числовые параметры (характеристики), связанные с законом распределения. Это математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Слайд 51

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений этой

величины на вероятности этих значений.

Слайд 52

Например, если использовать данные предыдущего примера, то математическое ожидание
M (X)

= 8 . 0,2 + 9 . 0,1 + 10 . 0,3 + 11 . 0,2 + +12 . 0,2 = 10,1.
Основной смысл математического ожидания дискретной случайной величины состоит в том, что оно представляет собой среднее значение данной величины.

Слайд 53

Отдельные значения случайной величины группируются около математического ожидания. Степень рассеивания (разброса)

характеризуется дисперсией.
Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
D (X) = = M [(xi – μ)2]
Здесь μ = M(X) - математическое ожидание случайной величины.

Слайд 54

На практике дисперсию часто удобнее вычислять по формуле:
D (X) = σ2

= M (X 2) – μ2
Например, в том же примере с группами студентов:
М(Х2) = 64 . 0,2 + 81 .0,1 + 100 . 0,3 + 121 . 0,2 + 144 . 0,2 = 103,9.
Подставляя это значение и найденное ранее значение математического ожидания (μ = M(X) = 10,1), получаем
D (X) = 103,9 – 10,1 = 1,89

Слайд 55

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением) случайной величины называют корень квадратный из

дисперсии.
Для нашего примера σ (Х ) = ≈ 1,37.

Слайд 56

Случайная величина, принимающая любые значения в определенном интервале, называется непрерывной.
Примеры: мгновенные

значения скорости теплового движения молекул, температура тела человека, плотность воздуха в зависимости от высоты над поверхностью Земли и т.п.

4. Непрерывные случайные величины, их распределения и характеристики

Слайд 57

Так как невозможно перечислить все значения непрерывной случайной величины и указать

их вероятности, то промежуток между крайними значениями делят на определенное количество интервалов и определяют вероятность того, что те или иные значения величины попадают в эти интервалы (так называемую плотность вероятности).

Слайд 58

Плотность вероятности, или функция распределения вероятностей [f (x)], показывает, как изменяется

вероятность dP, отнесенная к интервалу dx некоторой величины, в зависимости от значений самой этой величины.

Слайд 59

Вероятность того, что случайная величина принимает какое-либо значение в интервале (a,b):

Слайд 60

Условие нормирования непрерывной случайной величины:

Слайд 61

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины рассчитываются по формулам:

Слайд 62

Нормальный закон распределения (закон Гаусса):
Примеры распределений непрерывных случайных величин: Нормальный закон

распределения

Слайд 63

Здесь:
a = M(x) – математическое ожидание случайной величины,
σ –

среднее квадратическое отклонение (соответственно, σ2 -дисперсия случайной величины), е – основание натурального логарифма.

Слайд 64

Графически нормальное распределение имеет вид:

Слайд 65

Кривая имеет колоколообразную форму, симметричную относительно точки х = a. Величина

f (X ) в этой точке определяется формулой:

Слайд 66

При изменении параметра a форма нормальной кривой не изменяется, график сдвигается

влево или вправо.
При изменении параметра σ форма нормальной кривой изменяется. Если этот параметр увеличивается, то максимальное значение функции f(x) убывает, и наоборот. С увеличением параметра σ кривая растягивается вдоль оси ОХ.

Слайд 67

Важное значение нормального распределения во многих областях науки, например, в математической

статистике и статистической физике, вытекает из центральной предельной теоремы теории вероятностей.
Если результат наблюдения является суммой многих случайных слабо взаимозависимых величин, каждая из которых вносит малый вклад относительно общей суммы, то при увеличении числа слагаемых распределение центрированного и нормированного результата стремится к нормальному.
Этот закон теории вероятностей имеет следствием широкое распространение нормального распределения, что и стало одной из причин его наименования.

Слайд 68

Непрерывная случайная величина X, функция плотности вероятности которой задается выражением

называется

случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение.

Слайд 69