Точность систем автоматического управления

Содержание

Слайд 2

План 1 Общие положения 2 Понятие о типовых режимах САУ 3

План

1 Общие положения
2 Понятие о типовых режимах САУ
3 Теорема о предельном

значении оригинала и методика определения установившихся ошибок
4 Ошибки статических и астатических САУ в типовых режимах
5 Ошибки САУ при произвольных входных сигналах (коэффициенты ошибок)
6 Методы повышения точности САУ
Слайд 3

1 Общие положения Точность является важнейшим критерием качества систем. В настоящее

1 Общие положения

Точность является важнейшим критерием качества систем. В настоящее время

практически все многочисленные элементы любых технических систем изготавливаются автоматически т.е. с помощью САУ. Таким образом точность САУ определяет качество продукции, товаров, их надежность, энергопотребление, долговечность и т.д. и т.п.
Слайд 4

2 Понятие о типовых режимах САУ Точность САУ принято оценивать по

2 Понятие о типовых режимах САУ

Точность САУ принято оценивать по величине

ошибок в типовых режимах. Типовыми называются режимы просто описываемые математически и имеющие четкий физический смысл. К ним относятся:
- режим покоя, когда х(t)=const;
- режим линейно-нарастающих сигналов, когда х(t)=a*t, где а=const;
- режим гармонических входных сигналов, когда х(t)=A*sinωt.
Слайд 5

ε Итак, нам необходимо вычислить установившуюся ошибку ε(t) при t→∞, при

ε

Итак, нам необходимо вычислить установившуюся ошибку ε(t) при t→∞, при типовых

режимах и по ней можно будет судить о точности САУ.
Слайд 6

3 Теорема о предельном значении оригинала и методика определения установившихся ошибок

3 Теорема о предельном значении оригинала и методика определения установившихся ошибок

Сформулируем

для этого теорему о предельном значении оригинала:
limX(t)=limX(s),
t→ ∞ s→ 0
т.е. предел оригинала при t→∞ равен пределу изображения по Лапласу при s→0.
Слайд 7

Передаточная функция САУ по ошибке: Итак, чтобы определить установившуюся (при t→

Передаточная функция САУ по ошибке:
Итак, чтобы определить установившуюся (при t→ ∞)

ошибку САУ нужно:
- Найти x(s) зная x(t)
- Определить Fε(s)
- Найти ε(s)= X(s) * Fε (s)
- Определить εуст= lim ε(s)
S→0
Слайд 8

4 Ошибки статических и астатических САУ в типовых режимах Рассмотрим ошибки

4 Ошибки статических и астатических САУ в типовых режимах

Рассмотрим ошибки САУ

в типовых режимах:
1. Ошибка САУ в покое (статическая ошибка)
X(t)=X0=const X(s)=X0
Пусть - статическая
САУ, поскольку в знаменателе нет множителя S, т.е. интегрирующего элемента в системе
Слайд 9

По теореме о предельном значении аргумента (1) Подставляя Wp(s) в (1) получим:

По теореме о предельном значении аргумента
(1)
Подставляя Wp(s) в (1)

получим:
Слайд 10

Статическая ошибка в статической САУ в (1+К) раз меньше входной величины.

Статическая ошибка в статической САУ в (1+К) раз меньше входной величины.

Слайд 11

Пусть теперь - астатическая САУ (есть интегратор, т.е. множитель S в знаменателе передаточной функции)

Пусть теперь
- астатическая САУ (есть
интегратор, т.е. множитель

S в знаменателе передаточной функции)
Слайд 12

Таким образом, статическая ошибка в астатической САУ равна 0 Таким образом,

Таким образом, статическая ошибка в астатической САУ равна 0

Таким

образом, статическая ошибка в астатической САУ равна 0
Слайд 13

2. Второй типовой режим - движение с постоянной скоростью (скоростная ошибка)

2. Второй типовой режим - движение с постоянной скоростью (скоростная ошибка)
x(t)=at

a=cost
Пусть:
- статическая САУ
Тогда:
Слайд 14

Ошибка в статической САУ при линейно-нарастающем входном сигнале x(t)=at возрастает до

Ошибка в статической САУ при линейно-нарастающем входном сигнале x(t)=at возрастает до

∞.
Т.о. статические САУ в таком режиме не работоспособны.

Ошибка в статической САУ при линейно-нарастающем входном сигнале x(t)=at возрастает до ∞.
Т.о. статические САУ в таком режиме не работоспособны.

Слайд 15

Пусть теперь - астатическая САУ Тогда

Пусть теперь
- астатическая САУ
Тогда

Слайд 16

Т.о. в астатических САУ при x(t)=at a=const устанавливается ошибка в “К”

Т.о. в астатических САУ при x(t)=at a=const
устанавливается ошибка в “К”

раз меньше чем “a”, т.е. они работоспособны в таких режимах.

Т.о. в астатических САУ при x(t)=at a=const
устанавливается ошибка в “К” раз меньше чем “a”, т.е. они работоспособны в таких режимах.

x(t)

y(t)

t

Слайд 17

3. Третий режим - гармонических входных сигналов. Пусть x(t)=xmsinωkt xm,ωk –

3. Третий режим - гармонических входных сигналов.

Пусть x(t)=xmsinωkt
xm,ωk – амплитуда и

частота “качки”.

Wp(S)

ε(s)

y(s)

x(s)

Слайд 18

Определим амплитуду εm ошибки САУ в этом режиме. Для этого найдем:

Определим амплитуду εm ошибки САУ в этом режиме.

Для этого найдем:
-

ПФ САУ по ошибке
Подставим S=jωk
(1)
Слайд 19

Выражение (1) справедливо и для амплитуд, т.е. Откуда следует: (2) Прологарифмируем

Выражение (1) справедливо и для амплитуд, т.е.

Откуда следует:
(2)


Прологарифмируем (2):
(3)

Ак – контрольная точка

Слайд 20

Из (3) следует, что САУ будет иметь амплитуду ошибки не более

Из (3) следует, что САУ будет иметь амплитуду ошибки не более

допустимой εдоп, если

Из (3) следует, что САУ будет иметь амплитуду ошибки не более допустимой εдоп, если

Слайд 21

Т.о. чтобы ошибка САУ в гармоническом режиме не превышала допустимой εдоп

Т.о. чтобы ошибка САУ в гармоническом режиме не превышала допустимой εдоп

необходимо:

1. Определить положение контрольной точки Ак с координатами:
ω=ωк и
2. Обеспечить прохождение L(ω) выше контрольной точки Ак

Слайд 22

5 Ошибки САУ при произвольных входных сигналах (коэффициенты ошибок) Пусть на

5 Ошибки САУ при произвольных входных сигналах (коэффициенты ошибок)

Пусть на

вход САУ действует сигнал x(t) произвольной формы. Чтобы определить ошибку ε(t) в этом случае найдем вначале ее изображение.

Wp(S)

ε(s)

y(s)

x(s)

Слайд 23

Поскольку: (1) То: (2) Разложим далее Fε(s) по возрастающим степеням S

Поскольку: (1)
То: (2)
Разложим далее Fε(s) по возрастающим степеням S в ряд,

тогда (2) можно записать в виде:
(3)
Слайд 24

При нулевых начальных условиях и переходя в (3) к оригиналам можно

При нулевых начальных условиях
и переходя в (3) к оригиналам можно записать

(4)
Величины С0, С1, С2 … называются коэффициентами ошибок САУ.

При нулевых начальных условиях
и переходя в (3) к оригиналам можно записать
(4)
Величины С0, С1, С2 … называются коэффициентами ошибок САУ.

Слайд 25

Чтобы определить ошибку САУ при произвольной форме входного сигнала x(t) необходимо:

Чтобы определить ошибку САУ при произвольной форме входного сигнала x(t) необходимо:

Определить

передаточную функцию САУ по ошибке Fε(s);
Разложить в ряд Fε(s) путем деления ее числителя на знаменатель и найти коэффициенты С0, С1, С2 …;
Подставить коэффициенты ошибок в (4) и найти установившуюся ошибку ε(t).
Слайд 26

Пример Найти ошибку в САУ при: Если:

Пример

Найти ошибку в САУ при:
Если:

Слайд 27

Решение: 1.Найдем

Решение:

1.Найдем

Слайд 28

2. Разложим (1) в степенной ряд путем деления числителя на знаменатель - -

2. Разложим (1) в степенной ряд путем деления числителя на знаменатель

-

-

Слайд 29

Ограничимся первыми тремя членами ряда, т.к. входной сигнал X(t) имеет лишь три не нулевых первых производных.

Ограничимся первыми тремя членами ряда, т.к. входной сигнал X(t) имеет лишь

три не нулевых первых производных.
Слайд 30

3. Итак: (5) Сопоставляя (5) и (4) имеем коэффициенты ошибок: С0=0 (6)

3. Итак: (5)
Сопоставляя (5) и (4) имеем коэффициенты ошибок:
С0=0 (6)

Слайд 31

4. Определим далее производные от X(t): (7)

4. Определим далее производные от X(t):
(7)

Слайд 32

5. Подставляя коэффициенты С0, С1, С2… и производные (7) в (4)

5. Подставляя коэффициенты С0, С1, С2… и производные (7) в (4)

получим:
Т.е. ошибка с течением времени будет нарастать до ∞ из-за члена “bt”.
Слайд 33

6 Методы повышения точности САУ Анализируя выражения для коэффициентов ошибок отметим,

6 Методы повышения точности САУ

Анализируя выражения для коэффициентов ошибок отметим, что:
Все

коэффициенты обратно-пропорциональны коэффициенту К – усиления системы;
Чем выше порядок астатизма “v” тем большее количество первых коэффициентов ошибок равны 0
Слайд 34

ВНИМАНИЕ Порядок астатизма “v” определяется числом интегрирующих звеньев в контуре системы.

ВНИМАНИЕ

Порядок астатизма “v” определяется числом интегрирующих звеньев в контуре системы. Формально

“v” равно показателю степени множителя S в знаменателе передаточной функции wp.
Слайд 35

1. Первый способ повышения точности САУ – увеличение К Т.о. самым

1. Первый способ повышения точности САУ – увеличение К

Т.о. самым универсальным

способом повышения точности САУ являются увеличение коэффициента К усиления системы. При этом все коэффициенты ошибок уменьшаются, а это означает, что система во всех режимах работы будет иметь меньшие ошибки. Однако этот способ снижает запасы устойчивости системы и рано или поздно приводит к полной потере устойчивости. Это можно показать на примере критерия Найквиста.
Слайд 36

К1

К1

Слайд 37

2. Способ повышения точности САУ – путем увеличения астатизма “v” v=0

2. Способ повышения точности САУ – путем увеличения астатизма “v”

v=0

(статическая САУ)

Все коэффициенты не равны 0, т.е. с0≠0 с1≠0 с2≠0 …, т.е. статическая система в любых режимах работы, в т.ч. и в покое будет иметь ошибки

Этот способ исключает первые коэффициенты в ряду ошибок. Действительно:

Слайд 38

v=1 (астатическая САУ с астатизмом первого порядка) v=2 (астатическая САУ с

v=1 (астатическая САУ с астатизмом первого порядка)
v=2 (астатическая САУ с астатизмом

второго порядка)

с0=0 с1≠0 с2≠0 …, т.е. такая система не будет иметь ошибки в режиме покоя.
с0=0 с1=0 с2≠0 с3≠0 …, такая система не будет иметь ошибок не только в режиме покоя, но и при линейно-нарастающем сигнале

Слайд 39

К сожалению, этот способ также снижает запасы устойчивости САУ. Действительно: По

К сожалению, этот способ также снижает запасы устойчивости САУ. Действительно:
По критерию

Найквиста системы при v=0, v=1 могут быть как устойчивыми так и не устойчивыми, но при v=2 они становятся не устойчивыми при любых коэффициентах К.
Слайд 40

3. Повышение точности САУ с использованием принципов комбинированного управления. Принцип комбинированного

3. Повышение точности САУ с использованием принципов комбинированного управления.

Принцип комбинированного управления

состоит в том, что в дополнение к принципу обратной связи реализуется принцип управления по возмущению.

Измеритель

Регулятор

Объект

y(t)

x(t)

V(t)

Слайд 41

Здесь сочетается (комбинируются) оба названных принципа: Управление по возмущению (за счет

Здесь сочетается (комбинируются) оба названных принципа:
Управление по возмущению (за счет измерения

возмущения v(t) и выработки дополнительного управляющего сигнала компенсирующего действия возмущения);
Управление по отклонению или принцип обратной связи реализуется за счет главной отрицательной обратной связи и сигнала рассогласования и регулятора.
Слайд 42

Wэ(S) Рассмотрим следящую систему с комбинированным управлением и найдем передаточную функцию

Wэ(S)

Рассмотрим следящую систему с комбинированным управлением и найдем передаточную функцию обычной

системы эквивалентной по точности.

Wэ(S)


y(s)

W2(S)

x(s)

W1(s)

W3(S)

Слайд 43

Для этого приравняем их передаточные функции. (1)

Для этого приравняем их передаточные функции.
(1)

Слайд 44

Из (1) после некоторых преобразований можно получить: (2) Как видно из

Из (1) после некоторых преобразований можно получить:
(2)
Как видно из последнего

выражения, при:
(3)
wэ(s)=∞
Условие (3) называется условием полной инвариантности.
Слайд 45

Это означает, что ошибка рассматриваемой комбинированной следящей системы будет равна 0 в любых режимах работы поскольку:

Это означает, что ошибка рассматриваемой комбинированной следящей системы будет равна 0

в любых режимах работы поскольку:
Слайд 46

Достоинство принципа комбинированного управления в том, что он не изменяет (не

Достоинство принципа комбинированного управления в том, что он не изменяет (не

ухудшает) устойчивости и качества переходных процессов. Однако, реализовать точно условие полной инвариантности практически невозможно.
Слайд 47

ПРИМЕР Пусть: Найдем:

ПРИМЕР

Пусть:
Найдем:

Слайд 48

y(s) Структурная схема такой комбинированной следящей системы имеет вид: y(s) w1(s) x(s) III II I

y(s)

Структурная схема такой комбинированной следящей системы имеет вид:

y(s)

w1(s)

x(s)

III

II

I