Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции

Содержание

2. Направление выпуклости графика функции. Пусть функция f(x) дифференцируема в любой точке интервала (а,b). Тогда существует касательная
3. ТЕОРЕМА. Если функции f(x) имеет на интервале (а, b) вторую производную и f ´´(x) ≤ 0
4. Точки перегиба графика функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка М( х0, f(х0 )) называется точкой перегиба графика функции у
5. ТЕОРЕМА (необходимое условие перегиба графика функции, имеющей непрерывную вторую производную). Если М(x0, f(x0)) точка перегиба графика
6. Достаточные условия перегиба. ТЕОРЕМА 1. Пусть у = f(x) непрерывна в точке x0, дважды дифференцируема в
7. ТЕОРЕМА 2. Если f ´´(x0) = 0, а f (3)( x0) ≠ 0, то x0 –
8. ПРИМЕР. Найдем направления выпуклости и точки перегиба графика функции Вычислим производные первого и второго порядка: Здесь
9. Общая схема построения графика функции. Изучение заданной функции f(x) и построение ее графика целесообразно проводить в
10. ПРИМЕР. Провести полное исследование функции и построить ее график. Область определения функции D(f) = (–∞, –1)
11. Найдем асимптоты графика функции, вычислив необходимые пределы. В результате получим: х = – 1 – вертикальная
12. Вычислим первую производную функции Найдем критические точки производной и отметим их на числовой прямой. Расставим знаки
13. Найдем вторую производную функции Отметим на числовой прямой критические точки второй производной. Расставим знаки второй производной
16. Скачать презентацию

Слайд 2

Направление выпуклости графика функции.
Пусть функция f(x) дифференцируема в любой точке интервала

(а,b). Тогда существует касательная к графику функции, проходящая через любую точку М(x,f(x)) этого графика, причем эта касательная не параллельна оси Оу.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
График функции f(x) имеет на интервале (а,b) выпуклость, направленную вверх (вниз), если в пределах этого интервала он расположен не выше (не ниже) любой своей касательной.

Слайд 3

ТЕОРЕМА.
Если функции f(x) имеет на интервале (а, b) вторую производную

и
f ´´(x) ≤ 0 ( f ´´(x) ≥ 0)
во всех точках интервала, то график функции имеет на (а, b) выпуклость, направленную вверх (вниз).
Доказательство.
Пусть f ´´(x) ≤ 0 на (а, b).
Возьмём произвольную точку x0∈(а, b).
Уравнение касательной к графику функции
в точке М(x0, f(x0)) имеет вид
Yкас= f(x0) + f ′( x0)(x – x0).
Запишем для f(x) формулу Тейлора первого порядка в окрестности точки x0:
f(x) = f(x0) + f ′( x0)(x – x0) + f ″(ξ)(х – x0)2/2.
Отсюда следует, что
f(x) – Yкас = f ″ (ξ)(х – x0)2/2 ≤ 0
во всех точках интервала, то есть график лежит не выше касательной.

Yкас

f(x)

Слайд 4

Точки перегиба графика функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Точка М( х0, f(х0 )) называется точкой

перегиба графика функции
у = f(x), если в этой точке график имеет касательную и существует окрестность точки х0 оси ОХ, в пределах которой слева и справа от х0 график функции имеет разные направления выпуклости.

Слайд 5

ТЕОРЕМА (необходимое условие перегиба графика функции, имеющей непрерывную вторую производную).
Если М(x0,

f(x0)) точка перегиба графика функции у = f(x) и функция имеет в этой точке непрерывную вторую производную, то
f ´´(x0) = 0.
Доказательство.
Предположим, что f ´´(x0) ≠ 0.
Так как, по условию теоремы, f ´´(x) непрерывна в точке x0, то найдется такая окрестность этой точки, в которой f ´´(x) сохраняет знак числа f ´´(x0). Следовательно, функция сохраняет направление выпуклости в этой окрестности, что противоречит определению точки перегиба.

Слайд 6

Достаточные условия перегиба.
ТЕОРЕМА 1.
Пусть у = f(x) непрерывна в точке

x0, дважды дифференцируема в окрестности этой точки и график функции имеет касательную в точке М(x0, f(x0)). Если в пределах этой окрестности f ´´(x) имеет разные знаки слева и справа от x0, то М(x0, f(x0)) – точка перегиба графика функции.
Доказательство.
Так как f ´´(x) имеет разные знаки слева и справа от x0, то направление выпуклости слева и справа от точки различно, то есть М(x0, f(x0)) – точка перегиба графика функции.

f ''(x) > 0

f ''(x) < 0

Слайд 7

ТЕОРЕМА 2.
Если f ´´(x0) = 0, а f (3)( x0)

≠ 0, то x0 – точка перегиба графика функции.
Доказательство.
Запишем для f(x) формулу Тейлора третьего порядка в окрестности точки x0:
f(x) = f(x0) + f ′( x0)(x – x0) + f ′′′ (x0)(х – x0)3/6 + о((х – x0)3).
f(x) – Yкас = f ′′′( x0)/6 (1+ о(1)) (x– x0)3.
Выражение в правой части равенства имеет разные знаки слева и справа от точки x0, то есть при переходе через точку x0 график функции меняет направление выпуклости и М(x0, f(x0)) – точка перегиба графика функции.

Yкас =

Слайд 8

ПРИМЕР.
Найдем направления выпуклости и точки перегиба графика функции
Вычислим производные первого

и второго порядка:
Здесь y ′ (x) → ∞ при х → 0 и график функции в точке х = 0 имеет вертикальную касательную. Вторая производная в точке х = 0 не определена, а при переходе через эту точку меняет знак с плюса на минус. Итак, точка х = 0 – точка перегиба.

Слайд 9

Общая схема построения графика функции.
Изучение заданной функции f(x) и построение ее

графика целесообразно проводить в следующем порядке:
Найти область определения функции. Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической.
Найти точки пересечения графика с осями координат и промежутки, на которых f(x) > 0 и f(x) < 0.
Найти асимптоты графика.
Сделать приблизительный эскиз графика.
Вычислить первую производную, найти точки экстремума и промежутки возрастания (убывания) функции.
Вычислить вторую производную, найти точки перегиба и промежутки выпуклости вверх или вниз функции.
Окончательно вычертить график.

Слайд 10

ПРИМЕР.
Провести полное исследование функции
и построить ее график.
Область определения функции

D(f) = (–∞, –1) ∪ (– 1, + ∞).
Функция общего вида.
Найдем нули функции, решив уравнение
f(x) = 0 ⇔ x = 0.
Отметим на числовой прямой промежутки знакопостоянства функции:

- 1

Знаки f(x)

Слайд 11

Найдем асимптоты графика функции, вычислив необходимые пределы. В результате получим:
х =

– 1 – вертикальная асимптота;
у = х – 2 – наклонная асимптота графика функции как
при х→ -∞ , так и при х→ + ∞.
На основе полученной информации построим приблизительный эскиз графика:

- 1

- 2

Слайд 12

Вычислим первую производную функции
Найдем критические точки производной и отметим их на

числовой прямой. Расставим знаки производной в полученных интервалах и укажем направления возрастания-убывания функции.
Вычислим значение функции в обнаруженной точке максимума:
f(-3) = – 6.75

- 1

- 3

Знаки f '(x)

max

Слайд 13

Найдем вторую производную функции
Отметим на числовой прямой критические точки второй производной.

Расставим знаки второй производной в полученных интервалах и укажем направления выпуклости функции.
Окончательно построим график:

- 1

Знаки f ''(x)

Точка
перегиба

Слайд 14

Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции

Содержание

Направление выпуклости графика функции. Пусть функция f(x) дифференцируема в любой точке интервала

ТЕОРЕМА. Если функции f(x) имеет на интервале (а, b) вторую производную

Точки перегиба графика функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка М( х0, f(х0 )) называется точкой

ТЕОРЕМА (необходимое условие перегиба графика функции, имеющей непрерывную вторую производную). Если М(x0,

Достаточные условия перегиба. ТЕОРЕМА 1. Пусть у = f(x) непрерывна в точке

ТЕОРЕМА 2. Если f ´´(x0) = 0, а f (3)( x0)

ПРИМЕР. Найдем направления выпуклости и точки перегиба графика функцииВычислим производные первого

Общая схема построения графика функции. Изучение заданной функции f(x) и построение ее

ПРИМЕР. Провести полное исследование функции и построить ее график.Область определения функции

Найдем асимптоты графика функции, вычислив необходимые пределы. В результате получим: х =

Вычислим первую производную функцииНайдем критические точки производной и отметим их на

Найдем вторую производную функцииОтметим на числовой прямой критические точки второй производной.

Похожие презентации