Выпуклый анализ. Пространство подмножеств. Лекция 3

1. ПРОСРАНСТВО ПОДМНОЖЕСТВ

1.3. Алгебраические линейные комбинации подмножеств

1.4. Расстояние Хаусдорфа.

(ПРОДОЛЖЕНИЕ)

(продолжение)

является компактным множеством.

следует их ограниченность и конечность величин

Теорема 3.

Доказательство.

1.3. Алгебраические

можно считать, что

Действительно,

Тогда

Теорема доказана.

Переобозначим

Теорема 3.

Упражнение 1.

Доказательство.

Ограниченность.

Доказательство замкнутости.

можно выделить подпоследовательность

можно выделить подпоследовательность

Тогда

Переобозначим

Теорема доказана.

Пусть

Тогда с одной стороны

Пример 3.

а с другой

Вместо равенства (2)

Действительно, пусть

Отсюда следует

в общем случае

справедливо

1.4. Расстояние Хаусдорфа.

Пусть

Определение 17.

Величина

1)

2)

3)

4)

Подробного доказательства требует

что и доказывает требуемое свойство.

Из (3) и (4) выводим

Тогда

Упражнение 2.

и

Решение.

Таким образом,

Упражнение 3.

Найти расстояние Хаусдорфа между шарами

Решение.

Аналогично

Упражнение 4.

Решение.