Выпуклый анализ. Пространство подмножеств. Лекция 2

1. ПРОСРАНСТВО ПОДМНОЖЕСТВ

1.3. Алгебраические линейные комбинации подмножеств

(ПРОДОЛЖЕНИЕ)

1.3. Алгебраические линейные комбинации подмножеств

Пусть

Множество

В частности, если

то множество

Имеет место равенство

Теорема 1.

Доказано, что

Пусть

Тогда

Доказательство.

Тогда

Тогда возможно представление

Обозначим

Докажем обратное вложение.

то

Тогда

Заметим, что

Таким образом,

и равенство (1)

доказано.

Имеет место равенство

Теорема 2.

Тогда

Доказательство.

то полагаем

Теорема доказана.

Из теорем 1,2 следует,

Упражнение 1.

Пусть

Доказать, что

Решение.

Тогда

Имеет место неравенство

Аналогично устанавливается, что

Тогда

доказано.

Установим обратное вложение.

Сделаем представление

Обозначим

Очевидно, что

Таким образом,

снова имеет место.

Из (2) и (3) следует

Множество

Определение 16.

Множество

Упражнение 2.

Доказать равенство

Решение.

Обратно, пусть

Упражнение 3.

Пусть

Решение.