Выпуклый анализ. Выпуклые множества. Лекция 4

2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА

2.1. Определение выпуклого множества. Примеры.

2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА

2.1. Определение выпуклого множества. Примеры.

называется выпуклым,

справедливо включение

справедливо

является выпуклым множеством.

Доказательство для открытой окрестности аналогично.

Множество точек

Пример 2.

выпукло.

которые называются замкнутыми
полупространствами, и множества

которые называются открытыми полупространствами.

Множества

выпуклы.

Доказательство

поставим в соответствие множества

соответственно, прямой и лучом

Действительно, для всех

справедливо

В силу

Теорема 1.

Доказательство.

Теорема доказана.

Из теоремы 1, в частности, следует, что множество

являющееся областью допустимых значений

Упражнение 1.

Доказать выпуклость эллипса

Решение.

Надо доказать, что

т. е., что

Справедливо неравенство

Аналогично

Тогда

Упражнение 2.

Доказать выпуклость множества

Рассмотрим задачу математического программирования

Тогда

Тогда

Пусть

Требуется показать, что точка

Решение.

Эта точка является именно той,

Действительно, докажем равенства (1)-(3))

Имеем

Установим справедливость (2)

Имеем