Электричество и магнетизм. Лекция 08

положительный заряд. За направление тока исторически принято считать направление движения положительных зарядов.
В металлах (основная категория проводников) свободные заряды - это отрицательно заряженные электроны. Условное направление тока в металлах получается противоположным реальному направлению движения электронов.

направление эл. поля и тока

v

v

Электрический ток − направленное упорядоченное движение свободных электрических зарядов (носителей тока) в веществе под действием внешнего электрического поля.

наличие свободных заряженных частиц (проводник) и электрическое поле E , приводящее эти заряды в движение.
Необходима также возможность для зарядов совершать движение по замкнутому контуру

Сторонние силы

Для последнего условия необходимо:
наличие замкнутой проводящей цепи;
наличие в этой цепи сторонних НЕлектростатических сил , перегоняющих заряды против действия электрического поля.
Сторонние силы могут иметь разную природу: электромагнитную, химическую, термическую и др. - только не электростатическую!

E

j = Δq /SΔt = qnv [А/м2]

v

v

Δx = vΔt

S

Сила тока и плотность тока.

Плотность электрического тока = вектор, параллельный вектору дрейфовой скорости vд . Величина плотности тока равна количеству заряда, проносимого в единицу времени через площадку единичной площади, перпендикулярной направлению тока.

j = σE E = ρj => закон Ома (опыт.) в локальной форме
σ - проводимость, ρ = 1/σ - удельное сопротивление вещества

I = jS = σES , U = EL => I = U/R - закон Ома для проводника с сопротивлением R = ρL/S

ρ(х)j => закон Ома в локальной форме
σ - проводимость, ρ = 1/σ - удельное сопротивление вещества

R = ∫dx ρ(x)/S(x)

наличии токов в среде. Сила тока через замкнутую поверхность положительна, если больше заряда «вытекает», чем «втекает»

Уравнение непрерывности для тока

Если ток (и плотность заряда) не зависят от времени, то

ρj => закон Ома в локальной форме
σ - проводимость, ρ = 1/σ - удельное сопротивление вещества

- закон Джоуля - Ленца в локальной форме. Р [Вт/м3]–.

Р1 = dA/dt = Fv = qEv - мощность производимой полем механической работы по перемещению заряда q со скоростью v

Если ток (скорость дрейфа) не меняется, а работа производится Р = dQуд /dt = удельная мощность тепловыделения

сопротивлением R

dQ/dt = RI2 = UI = U2/R

I = U/R - закон Ома для проводника с сопротивлением R = ρL/S

dQ/dt = RI2 = UI = U2/R - закон Джоуля-Ленца для проводника с сопротивлением R

Законы Ома и Джоуля - Ленца

Обозначение проводника с сопротивлением R (резистора) на электрических[ схемах

на заряды в электрической цепи против действия поля электростатического, создающего ток.
На рисунке – обозначение на схеме элемента создающего электродвижущую стороннюю силу (ЭДС)

Электродвижущая сила (ЭДС)

ЭДС на данном участке цепи называется работа сторонних сил по перемещению заряда, отнесённая к величине этого заряда.

I

I

+

-

ε (ЭДС), r

Eстор

R

электрического поля с помощью сторонних сил.
Сторонние силы могут иметь разную природу: электромагнитную (генераторы), химическую (аккумуляторы, батарейки), тепловую и др. - только не электростатическую!

Cu

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Zn

-

-

-

-

-

-

-

-

+

-

сопротивлением r, также уменьшающем силу тока во внешней цепи.
I = ε / (R + r)
Закон Ома для замкнутой (полной) цепи: сила тока в полной цепи равна отношению ЭДС цепи к ее полному сопротивлению.

= IΣRi => IΣεi = I2ΣRi

Работа ЭДС и тока на неоднородном участке цепи

Мощность тепловыделения на резисторах: PR = I2ΣRi = IΣUi = IU
U – суммарное падение напряжения на участке цепи

Работа элементов ЭДС по переносу заряда (положительного) от начала к концу участка (в единицу времени):
Pε = ε1dQ/dt – ε2dQ/dt = (ε1 – ε2)I = IΣεi
Σεi – алгебраическая сумма ЭДС

всем резисторам, одинакова, а разности потенциалов (напряжения), создаваемые не резисторах, складываются
U = U1+U2+U3+… = IR1+IR2+IR3+… = I(R1+R2+R3+…) = IRser
Rser = ΣRi

I

I

Rser

тока в подводящих проводах складывается из токов в параллельно соединенных резисторах:
I = I1+I2+I3+..= U/R1+U/R2+U/R3+..= =U(1/R1+1/R2+1/R3+..) = U/Rbat
При параллельном соединении резисторов складываются величины, обратные их сопротивлениям:
1/Rbat = Σ 1/Ri

I

I3

I2

I1

I

Rbat

Параллельное соединение резисторов

просто складываются, а величины Э.Д.С. складываются алгебраически:
со знаком плюс, если «гонят» заряды по направлению тока
со знаком минус, если «гонят» заряды против направления тока
εser = Σεi rser = Σri

I

εser , rser

ε1

ε3

; εbat = (Σεi/ri)/Σ1/Ri = rbat (Σεi/ri)

I

I3

I2

I1

I

Параллельное соединение элементов ЭДС

εbat , rbat

ε 1

ε 2

ε 3

В этой сумме величины Э.Д.С. учитываются алгебраически:
со знаком плюс, если «гонят» заряды по направлению тока
со знаком минус, если «гонят» заряды против направления тока

+ 1/Σ1/ri )
Сравнение с законом Ома для замкнутой цепи с одним элементом ЭДС дает искомый результат:
UAB=RI = Rε / (R + r)

I

I3

I2

I1

I

Параллельное соединение элементов ЭДС

ε 1

ε 2

ε 3

R

Для пояснения запишем разности потенциалов точек А и В по всем ветвям цепи:
UAB = εi + Ii ri
- UAB = IR
Сложим токи во всех ветвях с ЭДС:
Σ(UAB - εi )/ri = - UAB /R =>

А

В

I = I1 + I2 + I3 +

I

I

+

-

ε (ЭДС), r

и элементов.

Элемент схемы с возможностью изменения значения сопротивления R
реостат (проволочная катушка (резистор) с ползунковым токоснимателем). Используется в схемах управления напряжением источников тока

R

R

схемы с возможностью изменения значения электроемкости С
Элемент ЭДС. Элемент схемы, обладающий электродвижущей силой ε [В] и внутренним сопротивлением r [Ом]. Иногда внутреннее сопротивление отоображают на схеме отдельно.
Источник постоянного напряжения U. Внутреннее сопротивление такого источника можно не учитывать.

С

+

-

ε (ЭДС), r

+

-

U

С

Элементы электрических схем

Переключатель. Элемент схемы, разрывающий и замыкающий цепь.
электролампа (с точки зрения электрической схемы характеризуется сопротивлением R и потребляемой мощностью Р [Вт])

R

Элементы электрических схем

Должен иметь по возможности минимальное сопротивление RA -> 0
Вольтметр. Прибор для измерения разности потенциалов (напряжения). Подключается к участку цепи параллельно. Должен иметь по возможности максимальное сопротивление Rv ->
Гальванометр. Прибор для измерения величины прошедшего через него заряда. Включается в участок цепи последовательно. Должен иметь по возможности минимальное сопротивление RA -> 0
Омметр. Прибор для измерения электрического сопротивления. Подключается к участку цепи параллельно. Должен иметь по возможности максимальное сопротивление Rv ->

V

Ω

A

8

Г

8

Элементы электрических схем

более проводников с током.
Алгебраическая сумма токов, втекающих (+) и вытекающих (-) из узла равна нулю (правило Кирхгоффа №1): ΣIi = 0

a

I1

I2

I3

Участок цепи между двумя узлами может содержать один или несколько последовательно соединенных элементов, через которые протекает один и тот же ток. Разность потенциалов на концах участка АВ:
φA – φB = IABR1 – ε1 + IABR2 + ε2
Ток и ЭДС – величины алгебраические (знаки как на рисунке).
(правило Кирхгоффа №2)

любом замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжения на всех сопротивлениях равна алгебраической сумме ЭДС.

b, c, d, …) все узлы на схеме.
Шаг 2. На каждом участке цепи указать направление силы тока и наименование тока. В нашем примере - Iab, Iac, Ibc, Ibd, Icd, Ida.
Важно: направления токов можно задать произвольно.

R1

R2

R3

R4

R5

A

r

ε

a

b

c

d

Ida

Iac

Icd

Iab

Ibd

Ibc

математика узлов и токов устроена так, что одно из правил Кирхгоффа (для замкнутой схемы) линейно зависит от остальных. Один из узлов (любой) можно не учитывать.
a: Ida = Iab + Iac
b: Iab = Ibc + Ibd
c: Iac + Ibc = Icd

R1

R2

R3

R4

R5

A

r

ε

a

b

c

d

Ida

Iac

Icd

Iab

Ibd

Ibc

Метод расчета электрических схем

схеме. Важно! Надо набрать столько разных контуров (с хотя-бы частично разными участками цепи), чтобы общее число уравнений и число неизвестных величин совпали.
аbca: IabR1 + Ibc R5 - Iac R3 = 0
bdcb: IbdR2 - Icd R4 - Ibc R5 = 0
acda: IacR3 + Icd R4 + Ida r = ε

R1

R2

R3

R4

R5

A

r

ε

a

b

c

d

Ida

Iac

Icd

Iab

Ibd

Ibc

Метод расчета электрических схем

неизвестные.
Правила Кирхгоффа для трех узлов и трех контуров:
a: Ida = Iab + Iac
b: Iab = Ibc + Ibd
c: Iac + Ibc = Icd
аbca: IabR1 + Ibc R5 - Iac R3 = 0
bdcb: IbdR2 - Icd R4 - Ibc R5 = 0
acda: IacR3 + Icd R4 + Ida r = ε
В нашем случае имеем 6 уравнений и 6 неизвестных токов. Все должно решаться точно.

R1

R2

R3

R4

R5

A

r

ε

a

b

c

d

Ida

Iac

Icd

Iab

Ibd

Ibc

Метод расчета электрических схем

I2R2= ε2 +(I1-I2)R3
I2= (ε2+I1R3)/(R2+R3)
I1R1+I2R2 = ε2+ε1 =
=I1R1+ R2(ε2+I1R3)/(R2+R3)

I1 = (ε1(R2+R3)+ε2R3)/(R1R2+ R1R3+ R2R3)

= 0
Объяснение: потенциалы точек на концах сопротивления R в силу симметрии схемы одинаковы.

R

если каждое из ребер имеет сопротивление r.
Шаг 1: Пронумеруем все узлы и попробуем нарисовать эквивалентную плоскую электрическую схему:

1

2

3

4

5

6

7

8

2

4

6

8

Пример расчета симметричных схем

если каждое из ребер имеет сопротивление r.
Шаг 2: Учтем симметрию:
Узлы 3,5.7 имеют равные потенциалы и могут быть соединены проводниками без изменения свойств схемы. Тоже и узлы 4, 6, 8.

1

2

3

4

5

6

7

8

2

4

6

8

3,5,7

4,6,8

Пример расчета симметричных схем

если каждое из ребер имеет сопротивление r.
Шаг 3: Закончим эквивалентую схему и проведем ее расчет.
R = r/3 +r/6 +r/3 = 5r/6

1

2

3

4

5

6

7

8

2

4

6

8

3,5,7

4,6,8

Пример расчета симметричных схем

Мысленно разрежем схему по линии a’ - b’ (отрежем первое звено) и заменим всю цепочку за линией a’ - b’ одним (неизвестным пока) сопротивлением Ra’b’.

a

b

a’

b’

R

r

a

b

Ra’b’

Заметим, что раз цепь очень длинная (число звеньев велико) отделение одного звена не должно повлиять заметно на ее сопротивление. То есть: Ra’b’ = Rab

Пример расчета длинной цепи

на
r’ = rRab/(r + Rab)
Прибавляя последовательно подсоединенное сопротивление R, получаем уравнение
Rab = R + r’ = R + rRab/(r + Rab)

Приводя к общему знаменателю, получаем:
rRab + Rab2 = Rr + RRab + rRab
Сокращаем слагаемые rRab и получаем квадратное уравнение:
Rab2 - RRab - Rr = 0
Решение: Rab = R/2 + (R2/4 +Rr)1/2

Пример расчета длинной цепи

~(Rr)1/2 ~(ρM ρB)1/2/d

l~Δx, S~d2
R ~ ρMΔx/d2

l~d, S~dΔx
r ~ ρB/Δx

RЛЭП =ρMl/d2 =>l~(ρB /ρM)1/2d