Формы движения твердого тела

y(t), z(t))
dP/dt = m d2r/dt2 = ΣF
Вращательное – вокруг определенной оси OZ: φ(t)
dMz/dt = Izd2φ/dt2 = ΣNz
Плоское: 2-мерное поступательное + вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости поступательного движения и сохраняющей направление: r(t) = (x(t), y(t)) + , z(t)) + φ(t) вокруг OZ

Свободное: комбинация поступательного и вращательного движения без ограничений. 3-х мерное поступательное движение (вместе с центром масс) + вращение вокруг любой оси, проходящей через центр масс, причем ось вращения может менять направление.
dMi/dt = Iij dωj /dt = ΣNi

тела, наблюдаемую из «лабораторной» системы отсчета, можно представить как сумму двух компонент:
поступательной (вместе с центром масс), и
вращательной (вокруг центра масс)

v = vC + [ω,r]

здесь r - радиус-вектор точки относительно центра масс тела, а ω – угловая скорость его вращения/
НО! При свободном движении связь векторов угловой скорости ω и момента импульса M сложнее.
Один вектор получается из другого не простым умножением на момент инерции I, а умножением на матрицу Iij. Mi= Iijωj

и момента импульса M сложнее. Один вектор получается из другого не простым умножением на момент инерции число I, а умножением на матрицу Iij.
Mx= Ixх ωx + Ixy ωy + Ixz ωz
My= Iyх ωx + Iyy ωy + Iyz ωz
Mz= Izх ωx + Izy ωy + Izz ωz
Mi= Iijωj - короткая форма записи
матричного умножения векторов

Свободное движение твердого тела

y sin φ
y’ = x sin φ + y cos φ

x

y’

x’

φ

x’
y’

x
y

cos φ –sin φ
sin φ cos φ

=

Пример матричного умножения векторов:

x’ = x cos φ – y sin φ + 0*z
y’ = x sin φ + y cos φ + 0*z
z’ = 0*x + 0*y + z

x’
y’
z'

x
y
z

cos φ –sin φ 0
sin φ cos φ 0
0 0 1

=

Mx
My
Mz

ωx
ωy
ωz

Ixx Ixy Ixz
Iyx Iyy Iyz
Izx Izy Izz

=

=>

Iyх ωx + Iyy ωy + Iyz ωz
Mz= Izх ωx + Izy ωy + Izz ωz

Свободное движение твердого тела

Mx
My
Mz

ωx
ωy
ωz

Ixx Ixy Ixz
Iyx Iyy Iyz
Izx Izy Izz

=

Mi= Iij ωj

Iij - тензор инерции = матрица из 9-ти компонент

Вектора M и ω НЕ ОБЯЗАНЫ быть параллельными!

x, y, z вдоль осей симметрии, тензор инерции может стать диагональным
Ixx 0 0 Mx= Ixх ωx
0 Iyy 0 => My= Iyy ωy Mi= Iiiωi
0x 0 Izz Mz= Izz ωz
Для “самых симметричных” тел (сфера, шар) Ixx = Iyy = Izz = I; M= Iω
и все оси, проходящие через центр масс, одинаково «главные»
Вектора M и ω совпадают по направлению для любого тела, которое само вращается вокруг одной из своих главных осей симметрии

Свободное движение твердого тела

через центр масс тела (не обязательно главной)
Оси вращения несимметричных тел, как правило, не устойчивы.
При наличии внешних сил (даже слабых) ось вращения может менять направление, а при вращении тела вокруг закрепленной оси на оси могут возникать заметные нагрузки. Если убрать закрепление - тело может начать «кувыркаться».
У симметричных тел могут быть т.н. главные оси симметрии, вращение вокруг которых может быть устойчиво.

«Самые главные» оси те, вращение вокруг которых всегда устойчиво. Такое вращение может продолжаться даже после снятия закрепления.
Пример: быстрое вращение стержня на подвесе остается устойчивым еще некоторое время, если снять нить с подвеса. По мере замедления вращения устойчивость его теряется.

openedu.ru!
Это необходимо для получения «зачета» и допуска к экзамену.
Но ГЛАВНОЕ: Вы станете лучше понимать физику!
Особенно это касается механики вращательного движения!

в направлении
линии В-В, ось гироскопа смещается
в направлении момента этой силы ,
то есть в перпендикулярном силе F
направлении ( вдоль линии D-D).
Этот эффект называется
гироскопическим эффектом
dM = Ndt

оси внешних сил (силы тяжести Р, например).
Угловая скорость прецессии ω<<Ω

ЧТО НАДО ЗНАТЬ из теории движения гороскопа:
Угловая скорость прецессии ω обратно пропорциональна угловой скорости вращения гироскопа ω ~ 1/Ω
Вектор ω направлен против вектора внешней силы Р;
Приближенная теория справедлива, когда ω<<Ω .
При ω ~ Ω наблюдаются колебания оси гироскопа – нутация
При уменьшении угловой скорости Ω вращение гироскопа теряет устойчивость