Поняття про топологію електричного кола та його граф

Для опису топологічних властивостей кіл використовують поняття гілки (вітки), вузла та контура.
Гілка (вітка) – це ділянка електронного кола, вздовж якої протікає один і той самий струм. Вона може складатись із одного компонента з двома виводами (двополюсника) або із декількох послідовно з’єднаних двополюсних компонентів:
Приклади гілок електронної схеми: з одним двополюсним компонентом (а); з декількома послідовно з'єднаними двополюсними компонентами (б)

Топологічні рівняння електронних кіл.

двох гілок називають усувним вузлом, бо при послідовному з’єднанні двох гілок струми, що течуть через них, є однаковими і дві такі гілки можна замінити однією. На попередньому рисунку вузли “б” і “в” є усувними. Далі будемо вважати вузлом місце з’єднання трьох і більше гілок.

Контур– це довільний замкнутий шлях, що проходить через декілька гілок кола і характеризується напрямом обходу (порядком проходження гілок), причому кожну гілку і кожний вузол, що входить у контур, проходять тільки один раз.
Примітка: контуром вважають також замкнутий шлях, що проходить не тільки через певні гілки кола, але і поза ними по лінії, яка позначає міжвузлову напругу

Приклади можливого вибору контурів кола: лише через гілки кола (а); частково через гілки кола і поза ними (б)

кола у вигляді сукупності вузлів та гілок називають графом кола. На графі вузли (вершини) зображають точками (кружечками), а гілки (ребра) – лініями, що з’єднують між собою відповідні вузли.

На рисунках а, б зображені схеми найпростіших кіл – од­ноконтурного і двовузлового та їх графи. Часто на графі по­значають стрілками умовні додатні напрями струмів і напруг гілок. Тоді граф називають орієнтованим.

Найпростіші кола та їх графи: одноконтурне (а); двовузлове (б)

протікає один і той самий струм, і, крім того, алгебраїчна сума напруг усіх компонентів кола дорівнює нулеві.

є однаковими, і, крім того, алгебраїчна сума усіх струмів кожного вузла дорівнює нулеві.

кола розуміють не тільки прийняте раніше означення, але і кожен з виводів (полюсів) багатополюсника, як показано на рисунку а, де вузли пронумеровані цифрами в кружечках. Крім того, уведено поняття “контур багатополюсника”, під яким розуміють замкнуту лінію, проведену через усі його полюси, як показано на рисунку б.

Означення топологічних елементів електронних кіл з багатополюсними компонентами: вузлів (а); контура багатополюсника (б); контурів кола (в)

Так, наприклад, сторонами багатополюсника, поданого на рисуеку б, є відрізки контура між полюсами 1-2; 2-3; 3-4; 4-5; 5-1. Отже, у колі з багатополюсниками контури можуть проходити через сторони багатополюсника та окремі гілки, як показано на рисунку в.
Властивості кола, що визначаються лише його топологією і не залежать від того, які конкретно компоненти входять до його складу, описують топологічні рівняння. До топологічних рівнянь належать рівняння, складені на підставі першого та другого законів Кірхгофа.

вузлі кола: алгебраїчна сума миттєвих значень струмів усіх гілок, під’єднаних до кожного вузла кола, дорівнює нулеві у будь-який момент часу.
Примітка: якщо до деякого вузла під’єднаний зовнішній вивід (полюс) багатополюсника, то струм цього виводу слід ураховувати як струм окремої гілки, під’єднаної до даного вузла.
На підставі першого закону Кірхгофа можна записати рівняння балансу струмів для кожного вузла:
де к – номери гілок, під’єднаних до вузла, що розглядається.

усім струмам, спрямованим однаково відносно вузла, приписують однаковий знак. Приймемо, що струми, спрямовані до вузла, враховуватимемо із знаком "плюс", а струми, спрямовані від вузла, – зі знаком "мінус". Наприклад, для вузла, зображеного на рисунку , записуємо:
.

Це рівняння можна записати у дещо іншому вигляді, якщо згрупувати струми, спрямовані від вузла, і перенести їх у праву частину:

значень струмів, спрямованих до вузла, у будь-який момент часу дорівнює сумі струмів, що витікають із цього вузла.
Перший закон Кірхгофа є наслідком закону збереження заряду і відображає той факт, що у вузлах ідеалізованого еле­ктричного кола заряди не нагромаджу­ються і не витрачаються.

Дослідження показують, що під час аналізу схеми не треба записувати рівнян­ня балансу струмів для усіх вузлів схеми, бо лінійно незалежними є рівняння, кількість яких на одиницю менша від кількості вузлів. Отже, якщо число вузлів схеми становить Nв , то число незалежних рівнянь балансу струмів дорівнює Nв-1.

на рисунку , рівняння балансу струмів для усіх трьох вузлів записуємо так:
вузол 1:
вузол 2:
вузол 3:

Можна переконатись, що третє рівняння можемо отримати додаванням перших двох рівнянь або перше рівняння - додаванням другого і третього рівняння. Отже, для розглянутої схеми незалежними є будь-які два рівняння.

довільний контур: алгебраїчна сума миттєвих значень напруг усіх гілок, що входять у довільний контур кола, дорівнює нулеві у будь-який момент часу.
На підставі другого закону Кірхгофа можна записати рівняння балансу напруг гілок для кожного контура:
де К – номери гілок, які входять у контур, що розглядається.
Примітка: якщо контур проходить через сторони багатополюсника, то напруги цих сторін слід ураховувати як напруги окремих гілок.

вибраного напряму обходу контура: якщо додатний напрям напруги гілки збігається з напрямом обходу контура, то її записують у рівняння зі знаком плюс, у протилежному випадку – зі знаком мінус. Наприклад, для контура, зображеного на рисунку a, записуємо:
а для контура, зображеного на рисунку б:
.

Складання рівнянь балансу напруг у контурі: для кола з двополюсними (а) та з багатополюсними (б) компонентами

факт, що енергія, витрачена джерелами енергії, які входять у контур, дорівнює енергії, що розсіюється компонентами контура у вигляді тепла або нагромаджується в окремих компонентах контура у вигляді енергії електричного чи магнітного полів.
Дослідження показують, що кількість незалежних рівнянь балансу напруг для конкретної схеми дорівнює Nг-Nв+1, де Nг – кількість гілок схеми, Nв – кількість вузлів схеми.
Неважко переконатись, що сумарна кількість незалежних рівнянь балансу струмів та балансу напруг для конкретної схеми, побудованої із двополюсників, дорівнює кількості гілок даної схеми:
(1.12)