Статистическое оценивание результатов измерений

Август 19, 2022

Главная
Физика
Статистическое оценивание результатов измерений

Содержание

2. Статистические гипотезы Основные этапы проверки статистической гипотезы Этап 1. Формулируется проверяемая гипотеза (H0) и выдвигается альтернативную
4. Этап 3. Принимается степень риска для неправильного вывода. Строится критическая область, и делится на области принятия
5. Этап 4. Из генеральной совокупности извлекается одна выборка. По ней рассчитывается значение статистики (критерия проверки) и
6. Этап 4. Из генеральной совокупности извлекается одна выборка. По ней рассчитывается величина наблюдаемого уровня значимости который
7. Ошибки первого и второго рода
8. Выбор уровня значимости При выборе гипотезы следует учитывать те потери, штрафы, которые несет исследователь и потребитель
9. Проверка нормальности распределения результатов измерения С помощью χ2-критерия (критерия Пирсона) Н0: Распределение соответствует нормальному распределению Ранжирование
10. Методы исключения выбросов (грубых ошибок) Метод исключения выбросов при известном σ Правило «трех σ»: одно, по
11. r-критерий Н0: сомнительное значение х, принадлежит данной совокупности. Вычисляют и сопоставляют его с табличным значением rкрит
13. Сравнение двух дисперсий Имеем две серии измерений : x1, x2,...,xi...,xn1 и у1, у2,…..уj,…..уn2, выборочные дисперсии S12
14. 2-й случай. Сравнивают дисперсии S12 и S22, при справедливости любого из трех положений σ12 > σ22
15. Сравнение нескольких дисперсий Имеем несколько (m) дисперсий : S12, S22, S32,...,Sm2, каждая из которых определена с
16. Сравнение нескольких дисперсий
17. Сравнение двух средних результатов
20. Оценка доверительных интервалов выборочных характеристик 1. Оценка доверительного интервала среднего результата - пределы нахождения истинного значения
21. Оценка доверительных интервалов выборочных характеристик 2. Оценка доверительного интервала дисперсии и стандартного отклонения Доверительный интервал указывает,
22. Оценка доверительных интервалов выборочных характеристик 2. Оценка доверительного интервала дисперсии и стандартного отклонения Доверительный интервал для
24. Скачать презентацию

Слайд 2

Статистические гипотезы
Основные этапы проверки статистической гипотезы
Этап 1. Формулируется проверяемая гипотеза

(H0) и выдвигается альтернативную гипотезу (H1).
. При выдвижении альтернативной гипотезы возможны два варианта: односторонняя гипотеза или двусторонняя гипотеза.
Например: Пусть выдвинута гипотеза нуль-гипотеза
Н0 : μ = 0
Альтернативная гипотеза
Н1 : μ ≠ 0 Н1 : μ > 0
(двухсторонняя гипотеза) (односторонняя гипотеза)

Статистическая гипотеза - это утверждение относительно неизвестного параметра

Слайд 3

Слайд 4

Этап 3. Принимается степень риска для неправильного вывода. Строится критическая область,

и делится на области принятия и отвержения гипотезы.

Слайд 5

Этап 4. Из генеральной совокупности извлекается одна выборка. По ней рассчитывается

значение статистики (критерия проверки) и принимается решение относительно истинности. Если значение критерия попадает в критическую область, то гипотеза отклоняется.

Для N(0,1)
α= 0,05
Z(0,05) =1,96

Слайд 6

Этап 4. Из генеральной совокупности извлекается одна выборка. По ней рассчитывается

величина наблюдаемого уровня значимости который называют p-value (или р-значение) и принимается решение относительно истинности. Если p-value меньше заданного уровня значимости, то H0 отвергается в пользу альтернативной. В противном случае она не отвергается.

Слайд 7

Ошибки первого и второго рода

Слайд 8

Выбор уровня значимости
При выборе гипотезы следует учитывать те потери, штрафы, которые

несет исследователь и потребитель за ошибки 1-го или 2-го рода.
1. При принятии гипотезы связано с жизнью людей (фармакология, космонавтика и т.д.), необходимо:
избегать принятия ложных гипотез;
следует пользоваться более высоким значением уровня значимости.
2. В условиях проведения рядовых (рутинных) измерений проверку гипотез осуществляют, используя следующие значения α:
• принимают нуль-гипотезу, используя α = 0,05 или более высокое его значение;
• отвергают нуль-гипотезу, используя α = 0,01 или более низкое его значение;
• если проверяемая гипотеза может быть принята с уровнем значимости α, меньшим 0,05, но большим 0,01, то следует взять гипотезу под сомнение.

Слайд 9

Проверка нормальности распределения результатов измерения
С помощью χ2-критерия (критерия Пирсона)
Н0: Распределение

соответствует нормальному распределению
Ранжирование совокупности X = (x1,x2,…xN)
Разбиение совокупности на интервалы
Подсчет частот попадания данных в интервалы разбиения, nj
Расчет значения нормированных переменных uj, и иj+1: для границ интервалов
Вычисление теоретических вероятностей pj = Ф(uj+1) – Ф(uj) по табл. значениям функции Лапласа Ф(u)
Расчет теоретических частот Npj и значение χ2-критерия по формуле:
Сравнивают его с табличным χ2(α, f = k- 3)
Если χ2 < χ2(α, f) принимают Н0, при χ2 > χ2(α, f) Н0 отвергают

Слайд 10

Методы исключения выбросов (грубых ошибок)
Метод исключения выбросов при известном σ
Правило «трех

σ»: одно, по меньшей мере, из 10, отдельных измерений может быть квалифицировано как содержащее грубую погрешность, если его значение лежит вне области х ± Зσ.
2. Методы исключения выбросов при неизвестном σ
Q-критерий.
Ранжирование совокупности X = (x1,x2,…xn)
Вычисляют
Если Qэксп > Qкрит, сомнительный результат является промахом, при Р = 0,90
Q-критерий применим для 5 < n < 10

Слайд 11

r-критерий
Н0: сомнительное значение х, принадлежит данной совокупности.
Вычисляют и сопоставляют его с табличным

значением rкрит с f= n – 2.
ri < rкрит (0,05,f= n - 2), то принимают Н0 - результат х, принадлежит данной совокупности.
ri > rкрит(0,01, f = n - 2) - Н0 отвергают, т. е. считают сомнительный результат выбросом и исключают его из совокупности измерений.

Слайд 12

Слайд 13

Сравнение двух дисперсий
Имеем две серии измерений : x1, x2,...,xi...,xn1 и у1,

у2,…..уj,…..уn2, выборочные дисперсии S12 (f1 = n1 – 1) и S22 (f2 = n2- 1), S12 > S22. S12 - оценка генеральной дисперсии σ12,
S22 – генеральной дисперсии σ22.
Выдвигается H0: генеральные дисперсии равны: σ12 = σ22= σ2, выборочные дисперсии S12 и S22 – однородные
Проверка по F-критерию (критерию Фишера) - F = S12/S22 .
1-й случай.
Известно, что σ12 не может быть меньше σ22, проверяют справедливость одного из двух положений: σ12 = σ22 или σ12 > σ22 используя односторонний F-критерий, вычисляют величину F и сравнивают с табличным значением:
Если F < F(0,05, f1, f2), принимают Н0: выборочные дисперсии S12 и S22 однородны,
Усредняют дисперсии
Если F > F(0,05, f1, f2), то принять Н0 нельзя, но и не достаточно оснований для ее отбрасывания.
Если F > F(0,01, f1, f2), Н0 отбрасывают: дисперсии S12 и S12 неоднородны.

Слайд 14

2-й случай.
Сравнивают дисперсии S12 и S22, при справедливости любого из

трех положений σ12 > σ22 или σ12= σ22 или σ12 < σ22. Для проверки нуль-гипотезы используют двусторонним F-критерий.
Критическая область в функции плотности вероятностей ϕ(F) состоит из двух частей - α = 2α1,
где α1 и α — уровень значимости соответственно для одностороннего и двустороннего F-критерия.
(Для нахождения двустороннего F-критерия пользуются таблицами, составленным для одностороннего F-критерия)
Если F < F(0,025, f1, f2), принимают Н0: выборочные дисперсии S12 и S22 однородны, усредняют дисперсии.
Если F > F(0,025, f1, f2), то принять Н0 нельзя, но и не достаточно оснований для ее отбрасывания.
Если F > F(0,005, f1, f2), Н0 отбрасывают: дисперсии S12 и S12 неоднородны.

Слайд 15

Сравнение нескольких дисперсий
Имеем несколько (m) дисперсий : S12, S22, S32,...,Sm2, каждая

из которых определена с числом степеней свободы f1, f2, f3,…,fm . Выдвигается H0: сравниваемые дисперсии – однородны.
Критерий Бартлетта. (fi ≠ const)
Рассчитывают величину В/С
Где - число степеней свободы объединенной выборки.
- средневзвешенная дисперсия
Вычисляют величину В/С и сравнивают с табличным значением χ2 :
Если В/С < χ2(0,05, f = т - 1), принимают Н0: выборочные дисперсии однородны и их можно усреднять.
Если B/C > χ2 (0,01, f = т - 1), Н0 отбрасывают: одна или несколько выборочных дисперсий из рассматриваемой совокупности характеризуют другие генеральные дисперсии.

Слайд 16

Сравнение нескольких дисперсий

Слайд 17

Сравнение двух средних результатов

Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20

Оценка доверительных интервалов выборочных характеристик
1. Оценка доверительного интервала среднего результата
- пределы

нахождения истинного значения результата измерения при доверительной вероятности Р.
Доверительный интервал для оценки математического ожидания с известной дисперсией.
Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение N(μ,σ2) с неизвестным математическим ожиданием M(X) и известной дисперсией D(X)=σ2. Пусть произведено n (n>30) независимых опытов и на основании статистических данных получено выборочное среднее.
где u(α,n) – квантиль нормированного распределения Лапласа, определяется из таблицы распределения Лапласа по соотношению Ф(u)=α/2.
Доверительный интервал для оценки математического ожидания с неизвестной дисперсией.
Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение N(μ,σ2) с неизвестным σ2. Пусть произведено n независимых испытаний, вычислены выборочное средние и выборочная дисперсия S2.
Параметр t- критерия Стьюдента, t(α,n–1)

Слайд 21

Оценка доверительных интервалов выборочных характеристик
2. Оценка доверительного интервала дисперсии и стандартного

отклонения
Доверительный интервал указывает, в каких пределах для выданной доверительной вероятности Р лежит значение генеральной дисперсии σ2 - при установленном выборочном значении S2.
Доверительный интервал для дисперсии при известном математическом ожидании.
Случайная величина X имеет нормальное распределение N(μ,σ2) с известным математическим ожиданием M(X)=μ. В качестве оценки дисперсии D(X)=σ2.возьмем выборочную дисперсию S2 которую будем рассматривать как случайную величину, зависящую от случайной выборки.
где – – квантили распределения χ2, определяемые из таблиц.
Для оценки доверительного интервала для стандартного отклонения применяют формулу:

Слайд 22

Оценка доверительных интервалов выборочных характеристик
2. Оценка доверительного интервала дисперсии и стандартного

отклонения
Доверительный интервал для дисперсии при неизвестном математическом ожидании
Случайная величина X имеет нормальное распределение N(μ,σ2) с неизвестным математическим ожиданием M(X). В качестве оценки дисперсии D(X)=σ2.возьмем выборочную дисперсию S2 которую будем рассматривать как случайную величину, зависящую от случайной выборки.
где – – квантили распределения χ2, определяемые из таблиц.
Для оценки доверительного интервала для стандартного отклонения применяют формулу:

Статистическое оценивание результатов измерений

Содержание

Статистические гипотезыОсновные этапы проверки статистической гипотезы Этап 1. Формулируется проверяемая гипотеза

Этап 3. Принимается степень риска для неправильного вывода. Строится критическая область,

Этап 4. Из генеральной совокупности извлекается одна выборка. По ней рассчитывается

Этап 4. Из генеральной совокупности извлекается одна выборка. По ней рассчитывается

Ошибки первого и второго рода

Выбор уровня значимости При выборе гипотезы следует учитывать те потери, штрафы, которые

Проверка нормальности распределения результатов измерения С помощью χ2-критерия (критерия Пирсона)Н0: Распределение

Методы исключения выбросов (грубых ошибок)Метод исключения выбросов при известном σПравило «трех

r-критерийН0: сомнительное значение х, принадлежит данной совокупности.Вычисляют и сопоставляют его с табличным

Сравнение двух дисперсийИмеем две серии измерений : x1, x2,...,xi...,xn1 и у1,

2-й случай. Сравнивают дисперсии S12 и S22, при справедливости любого из

Сравнение нескольких дисперсий Имеем несколько (m) дисперсий : S12, S22, S32,...,Sm2, каждая

Сравнение нескольких дисперсий

Сравнение двух средних результатов

Оценка доверительных интервалов выборочных характеристик1. Оценка доверительного интервала среднего результата - пределы

Оценка доверительных интервалов выборочных характеристик2. Оценка доверительного интервала дисперсии и стандартного

Оценка доверительных интервалов выборочных характеристик2. Оценка доверительного интервала дисперсии и стандартного

Похожие презентации

Статистические гипотезы
Основные этапы проверки статистической гипотезы
Этап 1. Формулируется проверяемая гипотеза

Выбор уровня значимости
При выборе гипотезы следует учитывать те потери, штрафы, которые

Проверка нормальности распределения результатов измерения
С помощью χ2-критерия (критерия Пирсона)
Н0: Распределение

Методы исключения выбросов (грубых ошибок)
Метод исключения выбросов при известном σ
Правило «трех

r-критерий
Н0: сомнительное значение х, принадлежит данной совокупности.
Вычисляют и сопоставляют его с табличным

Сравнение двух дисперсий
Имеем две серии измерений : x1, x2,...,xi...,xn1 и у1,

2-й случай.
Сравнивают дисперсии S12 и S22, при справедливости любого из

Сравнение нескольких дисперсий
Имеем несколько (m) дисперсий : S12, S22, S32,...,Sm2, каждая

Оценка доверительных интервалов выборочных характеристик
1. Оценка доверительного интервала среднего результата
- пределы

Оценка доверительных интервалов выборочных характеристик
2. Оценка доверительного интервала дисперсии и стандартного

Оценка доверительных интервалов выборочных характеристик
2. Оценка доверительного интервала дисперсии и стандартного