Геометрическая кристаллография

соответственные точки фигуры, пополам. Для конечных многогранников центр инверсии обозначается буквой «C».
При наличии центра симметрии в кристалле каждой грани отвечает другая грань, равная и параллельная (обратно параллельная) первой. В кристаллах не может быть более одного центра симметрии

фигура совмещается сама с собой. Наименьший угол поворота, при котором достигается совмещение, называется элементарным углом - α. Количество совмещений при повороте на 360º называется порядком оси и обозначается значком "n". Порядок оси и элементарный угол связаны соотношением - n = . Ось симметрии обозначается буквой Ln, где значок справа внизу обозначает порядок оси:

L1- ось первого порядка с элементарным углом 360°. Таким элементом симметрии обладают самые бесформенные тела - они совмещаются при полном повороте на 360°. Это своеобразный "0" в кристаллографии - отсутствие симметрии;
L2 - ось второго порядка - совмещение достигается при повороте на 180°,
L3 - ось третьего порядка - совмещение достигается при повороте на 120°; L4 - ось четвертого порядка - совмещение достигается при повороте на 90°; L6 -ось шестого порядка - совмещение достигается при повороте через 60°.

Осей пятого порядка и выше шестого в кристаллах не существует, из-за их решетчатого строения.

оси и центра инверсии, участвующих совместно. Оси симметрии обозначаются также буквой L со значком "in": Li1 - инверсионная ось первого порядка по определению складывается из L1+C, то есть просто С. По международной номенклатуре обозначается "T"; Li2 - инверсионная ось второго порядка складывается из L2+С, нетрудно убедиться, что эти два элемента можно заменить плоскостью симметрии (Р), перпендикулярной этому направлению; Li3 - инверсионная ось третьего порядка слагается из L3+С, но они всегда встречаются вместе и проще выявлять L3 и С; Li4 и Li6 - соответственно инверсионные оси четвертого и шестого порядка.

молекул, каждая из которых имеет поворотную ось пятого порядка, но кристаллическая решетка в целом не будет иметь эту ось.

как совокупность операций симметрии, т.е. симметричных преобразований осуществленных относительно какой-нибудь точки решетки, в результате которых решетка совмещается сама с собой.

Зеркальное отражение
Инверсия

Эквивалентные точки

и 2π.

Типы кристаллических решеток

Четыре типа специальных кристаллических решеток.
Четыре типа ограничений, налагаемых на вектора a и b для получения инвариантности по отношению к повороту на 2π/3, 2π/4, 2π/6 или по отношению к операции зеркального отражения.

Двумерные решетки Бравэ

Элементарная ячейка – параллелограмм. Точечная группа симметрии: 2.

|, φ = 90°

Гексагональная: | a | = | b |, φ = 120°

Элементарная ячейка – квадрат.
Точечная группа симметрии: 4mm.

Элементарная ячейка – ? .
Точечная группа симметрии: 6mm.

|, φ = 90°

Центрированная
прямоугольная: | a | ≠ | b |, φ = 90°

Элементарная ячейка – ? .
Точечная группа симметрии: 2mm.

Элементарная ячейка – ? .
Точечная группа симметрии: 2mm.

кристаллографических групп симметрии, кристаллов и кристаллических решёток в зависимости от системы координат (координатного репера); группы симметрии с единой координатной системой объединяются в одну сингонию. Кристаллы, принадлежащие к одной и той же сингонии, имеют подобные углы и рёбра элементарных ячеек.

Трёхмерные кристаллические решетки

1. Простая (примитивная ячейка P)

Моноклинная: a ≠ b ≠ c, α = β = 90О, γ ≠ 90О
1. Простая (P)

2. Базоцентрированная
(c центрированными основаниями) (C)

= 90О

1. Простая (примитивная P)

2. Базоцентрированная (C)

3. Объемноцентрированная (I)

4. Гранецентрированная (F)

γ ≠ 90О < 120О

1. Простая (R)

Тетрагональная: a = b ≠ c, α = β = γ ≠ 90О

1. Простая (P)

3. Объемноцентрированная (I)

γ = 120О

1. Простая

Кубическая: a = b = c, α = β = γ = 90О

1. Простая (P)

3. Объемноцентрированная (I)

4. Гранецентрированная (F)

осей,
зеркально-поворотных осей, центров инверсии.
Пространственная группа – пространственная комбинация
элементов симметрии.
230 пространственных групп: символика Шёнфлиса
32 класса кристаллов: символика Германа-Могена

Точечные группы симметрии в трёхмерном пространстве можно разделить на несколько семейств. В символах Шёнфлиса они описываются следующим образом:

Сn, циклические группы, группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии,
Cnv — группы с n вертикальными плоскостями симметрии, расположенными вдоль оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной,
Cnh — группы c горизонтальной плоскостью симметрии, перпендикулярной к оси симметрии,
S2n — группы с единственной зеркальной осью симметрии,
Cs — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии,
Сni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i,
Dn — является группой Сn с дополнительными n осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной (главной) оси,
Dnh — также имеет горизонтальную и n вертикальных плоскостей симметрии,
Dnd — также имеет n вертикальных плоскостей симметрии, идущих по диагонали между горизонтальными осями второго порядка,
T, O, I — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка (порядок оси n больше или равен 3):
T, Th, Td - совокупность поворотных осей в тетраэдре (только поворотные оси 2-го и 3-го порядков),
O, Oh - совокупность поворотных осей в октаэдре или кубе (поворотные оси 2-го, 3-го и 4-го порядков),
I, Ih - совокупность поворотных осей в икосаэдре или додекаэдре (поворотные оси 2-го, 3-го и 5-го порядков).

порядка.

равно половине длины пространственной диагонали элементарного куба, который содержит четыре молекулы NaCl.
Координационное число = ??

Структура хлористого цезия– простая К
Базис: ??
Координационное число = ??

число = 4

Кубическая структура сульфида цинка (цинковой обманки)– две идентичные ГЦК решетки, смещенных одна относительно другой в направлении диагонали куба на четверть длины этой диагонали.
Элементарная ячейка – куб

Политипизм – одно и то же вещество может кристаллизоваться в нескольких модификациях, отличающихся типом упаковки

(поглощается) при добавлении к элементу лишнего электрона (удалении электрона).

Å

λ < Λ