Исследование уравнения сжимаемости при высоких плотностях газов на примере аргона

Оксана Дмитриевна

Июнь, 2022

Студент 2 курса магистратуры:

Игнатов Николай Борисович

модели Апфельбаума-Воробьёва. Оценка основных параметров, запись новой формы вириального УС через МФК;
Результаты расчётов в среде Mathcad, проверка работоспособности вириального УС Апфельбаума-Воробьёва;
Выводы по проделанной работе.

записанное в виде ряда разложения сжимаемости Z по степеням целочисленной плотности n:

В термодинамике принято вводить следующее отношение, называемое «сжимаемостью»:

УС Ван-дер-Ваальса:

виде (температура Т записана в энергетических единицах)

где a и b – стандартные материальные константы УС В-В. Сразу же видно, что Z = 1, когда числитель выражения в круглых скобках (5) обращается в 0:

Вириальное УС, Апфельбаум и Воробьёв, 2021

быть прямой линией, как (6). Для этого рассмотрим работу [E.M. Apfelbaum and V.S. Vorob’ev – “Modified Virial Expansion and the Equation of State”, 2021]. Комбинируя условие Z=1 и вириальное УС, мы получаем следующее уравнение:

 

Уравнение (8.1) даёт уравнение для контура Z=1 в виде прямой линии:

для расчёта модифицированных вириальных коэффициентов, а именно:

Вдоль ЛИГ, когда справедливо уравнение (6), эффективная температура T* = TB.
Для построения УС с учетом ЛИГ, используется тождество:

Как видно из (11), вириальные коэффициенты, записанные через эффективную температуру, становятся функциями численной концентрации n.
Теперь правая часть уравнения (11) раскладывается в ряд по степеням х, а затем х полагается равным an. В результате для любого ВК получается ряд

коэффициенты, и получившееся выражения подставляются в уравнение (5). Затем группируются слагаемые с одинаковыми степенями n. В результате получается обобщённый вириальный ряд и вириальное уравнение примет следующий вид:

Модифицированные вириальные коэффициенты (МВК) D2, D3, DS, … связаны с эффективными B2, B3, BS, … соотношениями

В работе [Е. М. Апфельбаум, В. С. Воробьев УНИВЕРСАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ КРИТИЧЕСКОЙ И СВЕРХКРИТИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ // ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР] показано, что полученный ряд (13) аналогичен ряду

для системы частиц, взаимодействующих по потенциалу Ленарда-Джонса:

В настоящее время известны данные для 16 вириальных коэффициентов газа ЛД. Но надежные данные, позволяющие построить аналитические зависимости в широком диапазоне температур получены только для восьми вириальных коэффициентов газа ЛД. Перейдем к безразмерным параметрам. Для этого рассмотрим систему частиц, взаимодействующих по известному парному потенциалу с характерными энергией ε и длиной r0. Тогда плотность, температура, давление и s-й вириальный коэффициент (ВК) обезразмериваются с помощью соотношений:

 

эффективной температуры T* (10), полученные Воробьёвым и Апфельбаумом, приведены на рис. 2.

 

 

 

 

 

(19)

(20)

DS(T*) в координатах DS(B2(T*)). Результаты представлены на рис. 3.
На рис. 3 не приведен МВК D2(T*) так как, по условию, D2(T*) = B2(T*)

По форме кривые на рис. 3 схожи друг с другом. Более того, их можно совместить, смещая вверх и вправо на соответствующее расстояние. Это означает, что:

 

 

(21)

(22)

условия наилучшего совпадения функций (6) и (7).

Данные табл. были представлены зависимостью TS(1/s). Такая зависимость позволяет оценить значение TS(∞) (рисунок 4)

TS от s аппроксимируется прямой, уравнение которой имеет вид:

 

Подставляя это уравнение в (7), получаем аппроксимацию МВК в виде:

 

Апфельбаум и Воробьёв приводят следующее выражение для D∞:

 

В итоге МВК принимают значения:

Вторая форма УС так же требует знания ВК, но ВК используются для определения параметра А:

 

Назовём это уравнение УС-2

(23)

(24)

НИСТ и по эксперименту.

(32)

(33)

 

аргона (символы), приведенных в работе Jager et al. (синяя кривая). И НИСТ(чёрная кривая).

ур-ий Z-линий при плотности частиц 0.01 и 0.05.

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

приведенных координатах.

УС (28) способно предсказать термические свойства реальной системы с очень хорошей точностью. При этом, надо иметь в виду, что газ аргона - это одноатомная система с потенциалом взаимодействия, подобным потенциалу Ленарда-Джонса. Именно для таких систем было получено модифицированное вириальное уравнение в форме УС (28).

НИСТ. Расчёт третьего вириального коэффициента по методике, предложенной Воробьёвым и Апфельбаумом, даёт достаточно сильные расхождения. Это может быть вызвано пренебрежением добавки к взаимодействию трёх молекул в НИСТ.
2) В результате расчётов мы убедились, что при расчёте модифицированных вириальных коэффициентов при средних плотностях (до 0.01) фактор сжимаемости в зависимости от температуры выглядит так же, как и при классическом вириальном уравнении. Но при плотности частиц от 0.05 появляется большая погрешность при определении степени сжимаемости и, возможно, следует рассмотреть большее количество как вириальных, так и модифицированных вириальных коэффициентов.
3) Построено единообразное уравнение состояния в околокритической или в закритической области. Оно было использовано для реального вещества. Это уравнение включает в себя физически обоснованные и определяемые видом потенциала величины (второй вириальный коэффициент, бойлевские и критические параметры) и не содержит каких-либо других эмпирических констант. Как видно из результатов расчетов, данное УС способно предсказать термические свойства реальной системы с очень хорошей точностью (аналогичная проверка для других температур и плотностей показывает, что ряд обладает быстрой сходимостью. Практически достаточно учесть два или три члена ряда).