Основы логики. Алгебра высказываний

означает совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления. Сам термин "логика" происходит от древнегреческого logos, означающего "слово, мысль, понятие, рассуждение, закон".

- наука о формах и законах мышления.
Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира.
Основными формами мышления являются понятия, суждения и умозаключения.

как науки является древнегреческий философ и ученый Аристотель (384-322 гг. до н. э.).

Основоположник логики

это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, отличающие его от других. Например, компьютер, человек, ученики.

это необходимые признаки, без которых предмет не может существовать в своей качественной определенности. Например, одним из существенных признаков понятия "человек" является наличие сознания.
Несущественные - это преходящие, второстепенные признаки, приобретая или теряя которые, предмет остается самим собой. Например, несущественным признаком понятия "человек" является цвет его волос, вес, рост и др.

понятия – это совокупность существенных признаков предметов, обозначаемых данным понятием.
Объём понятия – совокупность предметов, на которые распространяется данное понятие.
Пример. "Квадрат". Содержание этого понятия – правильный четырёхугольник. Объём – все квадраты, независимо от величины сторон.
Объём и содержание понятия связаны законом обратного отношения: чем шире объём понятия, тем уже, беднее его содержание, и наоборот.

– "шоколадные конфеты" – ''шоколадные конфеты с фруктовой начинкой"; "город" – "старый город" – "большой старый город" – "большой старый русский город".

понятиями

Отношения между понятиями принято иллюстрировать с помощью круговых схем (кругов Эйлера), где каждый круг обозначает объем понятия, а каждая точка - предмет, входящий в его объем.

понятия – их объем состоит из одних и тех же элементов.
Примеры:
Столица России (А) и город Москва (В);
Луна (А) и естественный спутник Земли (В).

понятия имеют как общие, так и различные элементы объёма, т. е. находятся в отношении частичного совпадения.
Примеры:
дети (А) и горожане (В);
студенты (А) и баскетболисты (В).

(отношение рода и вида) – объём одного понятия полностью входит в объем другого, не исчерпывая его.
Примеры:
учёные (А) и физики (В);
насекомые (А) и бабочки (В).

– не имеют общих элементов объема, но являются видовыми по отношению к общему родовому понятию.
Примеры:
Столярные инструменты (А), молоток (В), пила (С), стамеска (D).
Типы темперамента (А), холерик (В), сангвиник (С), флегматик (D).

– выражающие крайние виды общего родового понятия, не исчерпывая его.
Примеры:
ребёнок (А) и старик (В);
жарко (А) и холодно (В).

– взаимоисключающие, исчерпывающие виды одного рода.
Примеры:
свежий (А) и несвежий (В);
монархия (А) и республика (В).

Эйлера отношения между следующими понятиями:
Человек, спортсмен, боксер, футболист, школьник

это форма мышления, в которой утверждается или отрицается связь между предметом и его признаком, отношения между предметами или факт существования предмета и которая может быть либо истинной, либо ложной. Языковой формой выражения суждения является повествовательное предложение. Вопросительные и побудительные предложения суждениями не являются.    

равно четырем" - истинное суждение, а вот "Процессор предназначен для печати" - ложное.
Суждения могут быть простыми и сложными. "Весна наступила, и грачи прилетели" - сложное суждение, состоящее из двух простых. Простые суждения (высказывания) выражают связь двух понятий. Сложные - состоят из нескольких простых суждений.

это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких высказываний (посылок) может быть получено новое высказывание (вывод).

Умозаключения бывают дедуктивные, индуктивные и по аналогии.

по аналогии движение мысли от общности одних свойств и отношений у сравниваемых предметов или процессов к общности других свойств и отношений

В индуктивных умозаключениях рассуждения ведутся
от частного к общему

«Металлы железо и цинк электропроводны»
Вывод: «Все металлы электропроводны»

«Химический состав Солнца и Земли сходен»
«На Солнце есть химический элемент гелий»
Вывод: «На Земле тоже должен быть химический элемент гелий»

В дедуктивных умозаключениях рассуждения ведутся
от общего к частному

«Все металлы электропроводны»
«Ртуть является металлом»
Вывод:
«Ртуть электропроводна»

это выведение одного знания из другого, истинность которого ранее установлена и проверена человеческой практикой.

Доказательство по своей логической форме не отличается от умозаключения.
Однако, в умозаключении заранее исходят из истинности посылок, а в доказательстве подвергается логической проверке истинность самих посылок.

тому, как для описания действий над переменными был разработан раздел математики алгебра, так и для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний, или алгебра логики.
Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Ее интересует только один факт – истинно или ложно данное высказывание, что дает возможность определять истинность или ложность составных высказываний алгебраическими методами.

в алгебре логики обозначаются заглавными буквами

А = {Окунь-это рыба}
В = {На яблонях растут бананы}
Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному – 0.
Таким образом, А = 1, В = 0.

на естественном языке образуются с помощью союзов, которые в алгебре высказываний заменяются на логические операции.
Логические операции задаются таблицами истинности.

КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение)

В естественном языке соответствует союзу и
В алгебре высказываний обозначается
⋅ ∧ &
В языках программирования обозначается and
Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

высказывания. Определите истинность каждого из них.

{10 делится на 2 и 5 не больше трех}
{10 не делится на 2 и 5 больше трех}
{10 делится на 2 и 5 больше трех}
{10 не делится на 2 и 5 не больше трех}

1) 1 & 0 = 0
2) 0 & 1 = 0
3) 1 & 1 = 1
4) 0 & 0 = 0

ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение)

В естественном языке соответствует союзу или.
В алгебре высказываний обозначается
∨
В языках программирования обозначается or.
Дизъюнкция истинна тогда и только тогда, когда хотя бы одно из исходных высказываний истинно.

высказывания. Определите истинность каждого из них.

{10 делится на 2 или 5 не больше трех}
{10 не делится на 2 или 5 больше трех}
{10 делится на 2 или 5 больше трех}
{10 не делится на 2 или 5 не больше трех}

1) 1 ∨ 0 = 1
2) 0 ∨ 1 = 1
3) 1 ∨ 1 = 1
4) 0 ∨ 0 = 0

ОТРИЦАНИЕ (инверсия)

В естественном языке соответствует частице не.
В алгебре высказываний обозначается
А, ¬А
В языках программирования обозначается not
Инверсия истинна тогда и только тогда, когда само высказывание ложно, и наоборот.

= {Луна – спутник Земли}
А = {Луна – не спутник Земли}

ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование)

В естественном языке соответствует обороту если …, то … .
В алгебре высказываний обозначается
⇒ →
В языках программирования не используется
Импликация ложна тогда и только тогда, когда первое высказывание истинно, а второе высказывание ложно.
1 →0 = 0

высказывания.

А = {Данный четырехугольник - квадрат}
В = {Около данного четырехугольника можно описать окружность}

Рассмотрим составное высказывание А → В , понимаемое как «если данный четырехугольник – квадрат, то около него можно описать окружность».
Есть три варианта, когда высказывание А → В истинно

и В истинно, т. е. если данный четырехугольник – квадрат, то около него можно описать окружность;
А ложно и В истинно, т. е. если данный четырехугольник не является квадратом, то около него можно описать окружность;
А ложно и В ложно, т. е. если данный четырехугольник не является квадратом, то около него нельзя описать окружность;

Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, т. е. если данный четырехугольник – квадрат, то около него нельзя описать окружность.

ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (равнозначность)

В естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда; в том и только в том случае
В алгебре высказываний обозначается
⇔ ↔ ~
В языках программирования не используется
Эквиваленция истинна тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или ложны

истинность высказываний.

А = {24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3}
А = 1 ↔ 1 = 1
В = {23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3}
В = 0 ↔ 0 = 1
С = {24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5}
С = 1 ↔ 0 = 0
D = {21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3}
D = 0 ↔ 1 = 0