Системы счисления

– цифр.
Числа: 123, 45678, 1010011, CXL
Цифры: 0, 1, 2, … I, V, X, L, …
Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Типы систем счисления:
непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа;
позиционные – зависит…

*

1 баран, …)
Десятичная египетская система счисления:

– 1
– 10
– 100

– 1000
– 10000
– 100000

– 1000000

чёрта

хомут

верёвка

лотос

палец

лягушка

человек

= ?

*

ладонь, 5 пальцев),
X – 10 (две ладони),
L – 50,
C – 100 (Centum),
D – 500 (Demimille),
M – 1000 (Mille)

*

цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!)
Примеры:
MDCXLIV =

1000

+ 500

+ 100

– 10

+ 50

– 1

+ 5

2389 = 2000 + 300 + 80 + 9

2389 = M M C C C L X X X I X

M M

CCC

LXXX

IX

= 1644

*

(V, X, L, C, D, M)
как записать дробные числа?
как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =?
Где используется:
номера глав в книгах:
обозначение веков: «Пираты XX века»
циферблат часов
номера месяцев

*

система: первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): 10

3 7 8

2 1 0

разряды

8

70

300

= 3·102 + 7·101 + 8·100

Другие позиционные системы:
двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика)
двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
двадцатеричная (1 франк = 20 су)
шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

СМ. ТАБЛИЦА 1.

0·22 + 1·21 + 1·20
= 16 + 2 + 1 = 19

8 → 10

1448

2 1 0

разряды

= 1·82 + 4·81 + 4·80
= 64 + 32 + 4 = 100

16 → 10

1C516

2 1 0

разряды

= 1·162 + 12·161 + 5·160
= 256 + 192 + 5 = 453

C

Определите основание системы счисления X.

в записи есть цифра 6, поэтому x > 6
переводим правую часть в десятичную систему
решаем уравнение

58 = 46x

1 0

58 = 46x

= 4·x1 + 6·x0

= 4·x + 6

58 = 4·x + 6

Ответ: x = 13

x=(58-6):4

есть цифра 6, поэтому x > 6
переводим в десятичную систему
решаем уравнение

16x + 33x = 52x

x = 7

4·x + 9 = 5·x + 2

33x = 3·x + 3

Ответ: x = 7

ШКОЛЬНОГО ТУРА 2017 ГОДА. 7-9 КЛАССЫ.) :
Было 53x груши. После того как каждую из них разделили пополам, стало 126x половинок. В системе счисления с каким основанием вели счет?
В ответе укажите только число.

53x • 2x =126x , где x>6

(5•x+3) • 2 = 1•x2+2•x+6

10x+6 = x2+2x+6

8x = x2

Ответ: 8

x = 8

записать в виде целого числа.

225x=14y , x>5 и y>4

2•x2+2•x+5=1•y+4

2x2+2x+5=y+4

y=2x2+2x+1

Если x=6, то y=2•62+2•6+1=85

Ответ: 85

Задача 4

Наименьшее значение y будет при наименьшем значении x

4

ЗАДАНИЯ ИЗ РЕГИОНАЛЬНОЙ ОЛИМПИАДЫ
БАЗОВОГО КУРСА 2017 ГОДА.
Пробный вариант.

32+2= 34

=10•161+13•160= 173

=1•121+10•120= 22

=3•51+ 2•50= 17

=3•71+ 5•70= 26

2 4

Задача 6

счисления, удовлетворяет неравенству ?

1)111110012 2)110110002 3)111101112 4)111110002

Задача 7

2 5

001

111

010

1012

{

{

{

{

17258 = 11110101012

011 101 1112

Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой:

1

3

5

7

Ответ: 10010111011112 = 113578

001 001 011 101 1112

1

0111

{

{

1111

0001

10102

{

{

1110 11112

Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой:

0001 0010 1110 11112

1

2

E

F

Ответ: 10010111011112 = 12EF16

Перевести в двоичную систему:

Шаг 2. Разбить на триады:

Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра:

011 110 111 101 0102

3DEA16 = 367528

счисления, удовлетворяет неравенству ?

1)111110012 2)110110002 3)111101112 4)111110002

Ответ: 4

Задача 7

ГОДА. 10-11 КЛАССЫ.)
Однажды учитель обнаружил, что кто-то испортил ответ ученика. Работа была выполнена в различных системах счисления. Но что интересно, восстановить исходные цифры не сложно.

Задача 8

1/0

1/0

x

y

<=7

знак «х»: 1х012+1хх2=1х1002

Задача 9

Задание 5. (1 балл) ИЗ ОЛИМПИАДЫ БАЗОВОГО КУРСА ШКОЛЬНОГО ТУРА 2013 ГОДА.)

+

1 х 0 1
1 х х
1 х 1 0 0

имеет только четыре знакоместа. С каким самым большим десятичным числом, переведенным конечно в троичную систему счисления, мы можем работать?

Задание 1. (1 балл) ИЗ ОЛИМПИАДЫ БАЗОВОГО КУРСА ШКОЛЬНОГО ТУРА 2013 ГОДА.)

Задача 10