Системы счисления

системы а) целое число б) правильная десятичная дробь в) вещественное число. 2. Перевод в десятичную систему 3. Перевод из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы. 4. Перевод из восьмеричной и шестнадцатеричной системы в двоичную 5. Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно.
Арифметические операции в позиционных системах счисления 1. сложение 2. вычитание 3. умножение 4. деление
Представление чисел в компьютере 1. целые числа 2. вещественные числа

Выход

с помощью набора символов, называемых цифрами.

Количественное значение каждой цифры числа зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) записана та или иная цифра.
0,7 7 70

Количественное значение цифры числа не зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) записана та или иная цифра.
XIX

Позиционные

Непозиционные

Системы
счисления

Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричная, т.е. в ней использовалось шестьдесят цифр!
В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления.
В настоящее время наиболее распространены десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

«Мысль – выражать все числа немногими знаками, придавая им значение по форме, ещё значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна»

Пьер Симон Лапласс

позиционных системах счисления, называется основанием системы счисления.
Позиции цифр называются разрядами.
Основание системы счисления показывает во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении её на соседнюю позицию
За основание системы можно принять любое натуральное число не менее 2.

нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями,
представление информации с помощью только двух состояний надежно и помехоустойчиво,
возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований,
двоичная арифметика намного проще десятичной

основанием q означает сокращенную запись выражения
an-1qn-1 + an-2qn-2 + … + a1q1 + a0q0 + a-1q-1 + … + a-mq-m ,
где ai – цифры системы счисления, n и m –число целых и дробных разрядов соответственно

данное число и получаемые целые частные на основание новой системы счисления до тех пор, пока частное не станет равно нулю.
Полученные остатки выразить цифрами алфавита новой системы счисления
Записать число в новой системе счисления из полученных остатков, начиная с последнего.

из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.

75

2

74

1

37

2

36

1

18

2

18

0

9

2

8

1

4

2

4

0

2

2

2

0

2

1

0

0

1

7510 = 10010112

75 из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.

75

8

72

3

9

8

8

1

1

8

0

1

0

7510 = 1138

75

16

64

11

4

16

0

4

0

7510 = 4B16

В меню

дробь и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть не станет равна нулю или не будет достигнута необходимая точность перевода.
Полученные целые части произведений выразить цифрами алфавита новой системы счисления.
Записать дробную часть числа в новой системе счисления начиная с целой части первого произведения.

из десятичной системы в счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.

0,35

2

0,70

2

1,40

2

0,80

2

1,60

2

1,20

0,3510 = 0,010112

0,35

8

2,80

8

6,40

8

3,20

0,3510 = 0,2638

0,35

16

5,60

16

9,60

0,3510 = 0,5916

В меню

отдельно по своим правилам переводятся целая и дробные части, результаты перевода разделяются запятой.

из десятичной системы в счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

68

2

68

0

34

2

34

0

17

2

16

1

8

2

8

0

4

2

4

0

2

2

2

0

2

1

0

0

1

0,74

2

1,48

2

0,96

2

1,92

2

1,84

2

1,68

68,7410 = 1000100,101112

из десятичной системы в счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

68

8

64

4

8

8

8

0

1

8

0

1

0

0,74

8

5,92

8

7,36

8

2,88

68,7410 = 104,5728

из десятичной системы в счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

68

16

64

4

4

16

0

4

0

0,74

16

11,84

16

13,44

68,7410 = BD8

В меню

счисления с основанием q в десятичную
надо представить это число в виде суммы произведений степеней
основания его системы счисления q на соответствующие цифры числа.
an-1qn-1 + an-2qn-2 + … + a1q1 + a0q0 + a-1q-1 + … + a-mq-m
и выполнить арифметические вычисления.

двоичной системы счисления в десятичную.

1 0 1 1, 12

-1

0

1

2

3

= 1∙23 + 0∙22 + 1∙21 + 1∙20 + 1∙2-1 = 11,510

разряды

число

Пример. Перевести число 276,8 из восьмеричной системы счисления в десятичную.

2 7 6, 58

-1

0

1

2

= 2∙82 + 7∙81 + 6∙80 + 5∙8-1 = 190,62510

разряды

число

Пример. Перевести число 1F3 из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную.

1 F 316

0

1

2

= 1∙162 + 15∙161 + 3∙160 = 49910

разряды

число

В меню

цифру восьмеричного/шестнадцатеричного числа соответствующим трехразрядным/четырехразрядным двоичным кодом.

Пример. Перевести число 527,18 в двоичную систему счисления.

527,18 =

101

010

111,

001

5

2

7

1

2

Пример. Перевести число 1A3,F16 в двоичную систему счисления.

1A3,F16 =

0001

1010

0011,

1111

1

A

3

F

2

Таблица соответствия

В меню

527,18 в шестнадцатеричную систему счисления.

Пример. Перевести число 1A3,F16 в восьмеричную систему счисления.

Таблица соответствия

В меню

самостоятельные задания

при этом возникает избыток, то он переносится влево

1 0 1 0 1

+

1 1 0 1

двоичная
система

0

1+1=2=2+0

1

1

1+0+0=1

0

1+1=2=2+0

1

0

1+1+0=2=2+0

1

0

1+1=2=2+0

1

Ответ: 1000102

2 1 5 4

+

7 3 6

2

4+6=10=8+2

1

1

5+3+1=9=8+1

1

1+7+1=9=8+1

1

3

1+2=3

восьмеричная
система

1

Ответ: 31128

шестнадцатеричная
система

8 D 8

+

3 B C

4

8+12=20=16+4

1

9

13+11+1=25=16+9

8+3+1=12=C16

C

1

Ответ: C9416

В меню

меньше цифры вычитаемого, то из старшего разряда занимается единица основания

двоичная
система

Ответ: 10102

восьмеричная
система

Ответ: 364448

шестнадцатеричная
система

Ответ: 84816

1 0 1 0 1

-

1 0 1 1

0

1-1=0

1

1

2-1=1

0

0-0=0

1

2-1=1

1

0

4 3 5 0 6

-

5 0 4 2

4

6-2=4

1

4

8-4=4

4

4-0=4

6

8+3-5=11-5=6

1

3

С 9 4

-

3 В С

8

16+4-12=20-12=8

1

4

16+8-11=24-11=13=D16

8

11-3=8

1

В меню

позиционных системах применяется алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты умножения и сложения записываются с учетом основания системы счисления

двоичная
система

Ответ: 1010111112

восьмеричная
система

Ответ: 133518

1 1 0 1 1

х

1 1 0 1

1 1 0 1 1

1 1 0 1 1

1 1 0 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1 1

1+1+1=3=2+1

1

1+1+1=3=2+1

1

1+1=2=2+0

1

1

1 6 3

х

6 3

5 3 1

1

6∙3+1=19=16+3=2∙8+3

2

1∙3+2=5

1 2 6 2

6∙3=18=16+2=8∙2+2

6∙6+2=38=32+6=4∙8+6

2

4

6∙1+4=10=8+2

1 3 3 5 1

6+5=11=8+3

1

В меню

самостоятельные задания

по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. При этом необходимо учитывать основание системы счисления.

двоичная
система

Ответ: 10,12

восьмеричная
система

Ответ: 638

1 0 0 0 1 1

1 1 1 0

1

1 1 1 0

1 1 1 0

1 1

1

,

0

0

1

0

1 3 3 5 1

1 6 3

6

1 2 6 2

5 3

1

3

5 3 1

0

В меню

самостоятельные задания

со знаком или без знака.
Целые числа без знака занимают в памяти один или два байта.

Пример. Число 7210 = 10010002 в однобайтовом формате

памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак «плюс» кодируется нулем, а «минус» - единицей

формате

В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код и дополнительный код.
Положительные числа в прямом, обратном и дополнительных кодах изображаются одинаково – двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде.

Знак числа

формате

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительных кодах имеют разное изображение..

Знак числа

Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа – двоичный код его абсолютной величины.

прямой код

формате

Знак числа

Обратный код. Для образования обратного кода отрицательного двоичного числа необходимо в знаковом разряде поставить 1, а в цифровых разрядах единицы заменить нулями, а нули - единицами.

обратный код

формате

Знак числа

Дополнительный код отрицательного числа получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду

дополнительный код

автоматически преобразуются в обратный или дополнительный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях.
При выводе таких чисел из компьютера происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа

В меню

разряды для мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка

знак числа

знак порядка

порядок

мантисса

в четырехбайтовом формате с семью разрядами для записи порядка
6,2510 = 110,012 = 0,11001 ∙ 211

знак числа

знак порядка

порядок

мантисса

31

30

22

0

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0