ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Август 25, 2022

Главная
Математика
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Содержание

2. Содержание: 1. Свойства логарифмов. 2. Способы решения. 3. При решении уравнений важно помнить... Логарифмические уравнения
3. При решении логарифмических уравнений и неравенств пользуются свойствами логарифмов, а также свойствами логарифмической функции y =
4. решение уравнений на основании определения логарифма; метод потенцирования; приведение логарифмического уравнения к квадратному, заменой переменной; приведение
5. log x+1(2x2+1)=2 По определению логарифма имеем: 2х2+1=(х+1)2, x2 -2x=0 x=2 или x=0. Проверка: х=0 не может
6. log 5 x=log 5 (6-x2 ) Из равенства логарифмов следует: x= 6- x2 x=-3 или x=2.
7. lg2x3 - 10lgx + 1=0 lg2x3=(lgx3)2=(3lgx)2= 9lg2x 9lg2x - 10lgx+1=0. Пусть lgx=y, тогда 9y2- 10y+1=0 y=1
8. log16x+log4x+ log2x=7 (1/4)log2x+ (1/2)log2x+ log2x=7 (7/4)log2x=7 log2x=4 x=16. Ответ: 16. Метод четвертый: приведение логарифмов к одному
9. Xlgx+2 = 1000 Логарифмируя обе части уравнения ( x > 0), получим: ( lgx+2)·lgx=lg1000 lg2x+ 2lgx-
10. При переходах от логарифмических уравнений к уравнениям, не содержащим знака логарифма, следует учитывать область допустимых значений
11. При решении уравнений, содержащих сумму двух и более логарифмов, следует помнить о том, что равенство loga
12. Чтобы этого не случилось, нужно в самом начале решения выписать соответствующие ограничения или, получив корни, сделать
13. Джон Непер (англ. John Napier; 1550—1617) шотландский барон, математик, один из изобретателей логарифмов, первый публикатор логарифмических
15. Скачать презентацию

Слайд 2

Содержание:
1. Свойства логарифмов.
2. Способы решения.
3. При решении уравнений важно помнить...
Логарифмические

уравнения

Слайд 3

При решении логарифмических уравнений и неравенств пользуются свойствами логарифмов, а также

свойствами логарифмической функции
y = log a x, a > 0, a 1 :
1) Область определения:  x > 0;
2) Область значений:   R;
3)   logax1=logax2 x1=x2;
4) При a>1 функция y=logax возрастает, при 0 < a < 1 функция y=logax убывает при всех x > 0, т.е.
a >1 и logax1>logax2 x1>x2, 0 < a < 1 и logax1>logax2 x1 < x2;

Слайд 4

решение уравнений на основании определения логарифма;
метод потенцирования;
приведение логарифмического уравнения к квадратному,

заменой переменной;
приведение логарифмов к одному основанию;
решение уравнений логарифмированием обеих частей.

Основными методами решения логарифмических уравнений являются следующие:

Слайд 5

log x+1(2x2+1)=2
По определению логарифма имеем: 2х2+1=(х+1)2,
x2 -2x=0

x=2 или x=0.
Проверка:
х=0 не может быть корнем данного уравнения, так как основание логарифма х+1≠1. При х=2 log 2+1( 2·22 +1)=log39=2.
Ответ: 2.

Метод первый: решение уравнений на основании определения логарифма

Слайд 6

log 5 x=log 5 (6-x2 )
Из равенства логарифмов следует:

x= 6- x2
x=-3 или x=2.
Проверка:
x=-3 корнем уравнения быть не может, так как
логарифмы отрицательных чисел не существуют.
Log5 x=log52,
log5(6-x2) = log5 (6-22)=log52.
Ответ: 2.

Метод второй: потенцирование

Слайд 7

lg2x3 - 10lgx + 1=0
lg2x3=(lgx3)2=(3lgx)2= 9lg2x
9lg2x -

10lgx+1=0.
Пусть lgx=y, тогда 9y2- 10y+1=0
y=1 или y=1/9
lgx=1 или lgx=1/9
x=10 или х=10 1/9.
Проверкой подтверждаем, что оба числа являются
корнями.
Ответ: 10; 10 1/9

Метод третий: приведение логарифмического уравнения к квадратному

Слайд 8

log16x+log4x+ log2x=7
(1/4)log2x+ (1/2)log2x+ log2x=7
(7/4)log2x=7
log2x=4
x=16.
Ответ: 16.
Метод четвертый:

приведение логарифмов к одному основанию

Слайд 9

Xlgx+2 = 1000
Логарифмируя обе части уравнения ( x > 0),

получим:
( lgx+2)·lgx=lg1000
lg2x+ 2lgx- 3=0
lgx=y
у2 + 2у- 3=0
y=- 3, у=1.
lgx=- 3, x=10-3=0,001;
lgx=1, x=10
Выполнив проверку, убедимся, что оба найденных значения переменной являются корнями данного уравнения.
Ответ: 0,001; 10.

Метод пятый: логарифмирование обеих частей уравнения

Слайд 10

При переходах от логарифмических уравнений к уравнениям, не содержащим знака логарифма,

следует учитывать область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения.
Решение большинства логарифмических уравнений после некоторых преобразований сводится к решению логарифмического уравнения вида logh(x) f(x) = logh(x) g(x) или совокупности таких уравнений.

При решении логарифмических уравнений следует помнить:

Слайд 11

При решении уравнений, содержащих сумму двух и более логарифмов, следует помнить о том,

что равенство loga f(x) + logag(x) = loga (f(x)g(x)), выполняется не при любых значениях переменной, поскольку области определения его левой и правой частей различны. Левая часть определена при f(x) > 0, g(x) > 0. Правая часть определена при f(x) ·g(x) > 0. Таким образом, область определения правой части равенства loga f(x) + loga g(x) = loga (f(x)g(x)) шире области определения его левой части. Поэтому при решении уравнения переход от суммы логарифмов к логарифму произведения может привести к появлению посторонних корней.

Слайд 12

Чтобы этого не случилось, нужно в самом начале решения выписать соответствующие ограничения или,

получив корни, сделать проверку. Преобразование же логарифма произведения в сумму логарифмов таит еще больше опасностей: в этом случае область допустимых значений переменной сужается и при решении уравнения можно потерять корни. Поэтому, если такое преобразование все-таки необходимо, часто приходится рассматривать два случая:
f(x) > 0, g(x) > 0, тогда loga(f(x)g(x)) = loga f(x) + loga g(x);
f(x) < 0, g(x) < 0, тогда loga (f(x)g(x)) = loga ( - f(x)) + loga (-g(x)).

Слайд 13

Джон Непер
(англ. John Napier; 1550—1617) шотландский барон, математик,

один из изобретателей
логарифмов, первый публикатор
логарифмических таблиц.

Немного истории:

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Содержание

Содержание:1. Свойства логарифмов. 2. Способы решения.3. При решении уравнений важно помнить...Логарифмические

При решении логарифмических уравнений и неравенств пользуются свойствами логарифмов, а также

решение уравнений на основании определения логарифма;метод потенцирования;приведение логарифмического уравнения к квадратному,

log x+1(2x2+1)=2 По определению логарифма имеем: 2х2+1=(х+1)2, x2 -2x=0

log 5 x=log 5 (6-x2 ) Из равенства логарифмов следует:

lg2x3 - 10lgx + 1=0 lg2x3=(lgx3)2=(3lgx)2= 9lg2x 9lg2x -

log16x+log4x+ log2x=7 (1/4)log2x+ (1/2)log2x+ log2x=7 (7/4)log2x=7 log2x=4 x=16.Ответ: 16.Метод четвертый:

Xlgx+2 = 1000Логарифмируя обе части уравнения ( x > 0),