4_логика_предикаты

Август 3, 2022

Главная
Математика
4_логика_предикаты

Содержание

2. Логика – это наука о формах и способах мышления Джордж Буль (1815-1864) основоположник математической логики
3. Формы мышления Основные формы мышления: Понятие Высказывание (суждение) Утверждение, рассуждение Умозаключение Логич выражение
4. 1. Понятие Понятие – это форма мышления, отражающая основные, наиболее существенные свойства объекта , отличающие его
5. 2. Высказывание Суждение – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных
6. Какие из предложений являются высказыванием? Число 6 четное Посмотри на доску Все роботы машины Кто отсутствует
7. Простые и сложные высказывания Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики, устанавливается законами
8. 3. Утверждение Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений,
9. 4. Умозаключение Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок)
10. 5. Логическое выражение утверждение, состоящее из постоянных и обязательно переменных величин (объектов). В зависимости от значений
11. Алгебра высказываний Алгебра высказываний служит для определения истинности или ложности составных высказываний (смысловое содержание простых высказываний
12. Высказывания могут быть простыми и сложными. Опр.: Высказывание является простым, если никакая его часть сама по
13. Опр.: сложные высказывания (выражения) состоят из простых (или сложных) высказываний, объединенных логическими операциями. Основные логические операции:
14. Логические операции 2.1. Логическое умножение (конъюнкция) 2.2. Логическое сложение (дизъюнкция) 2.3. Логическое отрицание (инверсия) 2.4. Логическое
15. 1. Логическое умножение (конъюнкция) Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и». Составное
16. 2. Логическое сложение (дизъюнкция) Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «или». Составное
17. 3. Логическое отрицание (инверсия) Присоединение частицы «не» к высказыванию. Инверсия делает истинное высказывание ложным и, наоборот.
18. 4. Логическое следование (импликация) Соответствует обороту Если…, то… (из А следует В) Обозначение →, ⇨ В
19. 5. Логическое равенство (эквивалентность) Эквивалентность образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…
20. 6. Логическое сложение по модулю (исключающее ИЛИ) Исключающее ИЛИ образуется соединением двух высказываний в одно с
21. Логические выражения Логическое выражение – формула, в которую входят логические переменные и знаки логических операций. Пример:
22. Найдите значения логических выражений
23. Для логического выражения можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность или ложность при всех возможных
24. Построение таблицы истинности Подсчитать кол-во переменных в выражении =n. Число строк в таблице = 2n +
25. ПРИМЕР: составить таблицу истинности для сложного логического выражения Кол-во строк таблицы 22 +1 = 5, т.к.
26. ПРИМЕР: составить таблицу истинности для сложного логического выражения D = не A & ( B+C )
27. Равносильные логические выражения Равносильные логические выражения - у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают. Обозначают “=“.
28. Докажите равносильность выражений: А+В+С=В+С+А АВС=ВСА А⬄В=¬А⬄¬В (А+В)С=АС+ВС АВ+С=(А+С)(В+С) ¬(А+В)=¬А¬В ¬(АВ)=¬А+¬В АВ+¬АВ=В (А+В)(¬А+В)=В ¬А(А+В)=¬АВ А+¬АВ=А+В
29. Выражение называется тождественно ложным (истинным), если оно принимает значение 0 (1) на всех наборах, входящих в
30. Основные понятия ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ В алгебре логики высказывания рассматриваются как единый объект с точки зрения истинности
31. Определение. Одноместным предикатом P(x) называется произвольная функция переменной x, определенная на множестве М и принимающая значение
32. Используя функциональную форму записи для предикатов, можно сказать, что предикатом Р(х1, х2, …, хn) называется функция
33. Таким образом, n-местный предикат, − это двузначная функция от n аргументов, определенная на произвольном множестве М,
34. Возможность описывать с помощью предикатов не только функции, но и отношения, определяется следующим: а) если а1,
35. Таким образом, в общем случае предикат Р – двоичная переменная, то есть переменное высказывание, истинность которого
36. Примеры. 1.Рассмотрим утверждение «x – целое число». Введем предикат I, обозначающий отношение «быть целым числом», тогда
37. 3. Элементы хi множества М – города. Предикат Р(х) устанавливается таким образом: «х – это столица
38. Пример (для предикатов определенных в предыдущем примере). Пусть в обоих случаях предикаты определены на множестве R
39. Предикат называется тождественно истинным, если на любом наборе аргументов он принимает значение 1. Предикат называется тождественно
40. Квантор всеобщности (∀). Пусть P(x) это предикат, определенный на множестве М. Тогда под выражением − понимается
42. Скачать презентацию

Слайд 2

Логика – это наука о формах и способах мышления
Джордж Буль
(1815-1864)

основоположник математической логики

Слайд 3

Формы мышления
Основные формы мышления:
Понятие
Высказывание (суждение)
Утверждение, рассуждение
Умозаключение
Логич выражение

Слайд 4

1. Понятие
Понятие – это форма мышления, отражающая основные, наиболее существенные свойства

объекта , отличающие его от других предметов (цветы, тетрадь) (Имеет содержание и объем.)

Совокупность существенных признаков объекта

Совокупность предметов, на которую распространяется понятие

Слайд 5

2. Высказывание
Суждение – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или

отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними.
Высказывание – суждение в математической логике
Высказывание может принимать только 2 значения: истина ~ ложь, да ~ нет, 1 ~ 0, вкл ~ выкл.

Высказывание является повествовательным предложением.

Связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей

Высказывание не соответствует реальной действительности

Слайд 6

Какие из предложений являются высказыванием?
Число 6 четное Посмотри на доску
Все роботы машины Кто

отсутствует
Кошки дружат с собаками Выразите 1час в минутах
Все моряки умеют плавать Посмотри направо
Х3 > 3 Чему равен путь от Земли до М
Все ананасы вкусные Надо хорошо подготовиться к Гречневая каша самая вкусная экзамену
Овсяная каша очень полезная
Весна самое приятное время года
Можно самим сделать золото
Можно сделать вечный двигатель
Тигр ласковое животное
Мой кот забияка

Слайд 7

Простые и сложные высказывания
Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне

алгебры логики, устанавливается законами наук (сумма углов Δ-ка).
Истинность сложных высказываний устанавливает алгебра логики.
Пример: Если наступает зима, то природа засыпает.

Слайд 8

3. Утверждение
Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть
Рассуждение – цепочка

высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом

Слайд 9

4. Умозаключение
Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного

или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).

Посылки – только истинные суждения.
Примеры: Литий – металл (=истина), литий – простое вещество (=истина); значит металл – это простое вещество.
Самая короткая дорога опасная; самая длинная дорога безопасная; значит длинная дорога самая короткая.

Слайд 10

5. Логическое выражение
утверждение, состоящее из постоянных и обязательно переменных величин (объектов).

В зависимости от значений этих переменных логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая 1) или ЛОЖЬ (логический 0)

Сложное логическое выражение

состоит из одного или нескольких простых (или сложных) логических выражений, связанных с помощью логических операций.
Пример: Если х ≠ 0, то операция деления имеет значение

Слайд 11

Алгебра высказываний
Алгебра высказываний служит для определения истинности или ложности составных высказываний

(смысловое содержание простых высказываний не учитывается).
Логическая переменная – логическое высказывание, обозначенное прописными буквами латинского алфавита, которые могут принимать лишь 2 значения: истина(1) и ложь(0)
Например:
А = у кошки 4 ноги;
В = на яблонях растут бананы;
С = не существует лжи во спасение.
А=1, В=0, С=1.

Слайд 12

Высказывания могут быть простыми и сложными.
Опр.: Высказывание является простым, если никакая

его часть сама по себе не является высказыванием.
Пр.:
ПК состоит из системного блока, монитора, УВВ.
Х3 > 3

Слайд 13

Опр.: сложные высказывания (выражения) состоят из простых (или сложных) высказываний, объединенных

логическими операциями.
Основные логические операции: И, ИЛИ, НЕ (если то, тогда и только тогда, не смотря на, только, если то и не).
Пр:
Простые высказывания –
А=Петров - врач, В=Петров - шахматист.
Составные высказывания -
С=А*В= Петров - врач и шахматист
С=А+В= Петров - врач, хорошо играющий в шахматы.
С=А⇨В= Если Петров врач, то он играет в шахматы.

Слайд 14

Логические операции
2.1. Логическое умножение (конъюнкция)
2.2. Логическое сложение (дизъюнкция)
2.3. Логическое отрицание (инверсия)
2.4.

Логическое следование (импликация)
2.5. Логическое равенство (эквивалентность)
2.6. Логическое сложение по модулю 2
Логические операции задаются таблицами истинности и иллюстрируются диаграммами Эйлера-Венна.

Слайд 15

1. Логическое умножение (конъюнкция)
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с

помощью союза «и».
Составное высказывание истинно только тогда, когда истинны оба простых высказывания.

Соответствует союзу И. В алгебре множеств это пересечение
Обозначение *, & , ^, И, and F = A * B

Таблица истинности

Пр.:
● А = высота шкафа меньше высоты двери,
В = ширина шкафа меньше ширины двери,
С = шкаф можно внести в дверь, если А=В=1 ~шкаф нельзя внести в дверь, если ~А~В=0
● Число 6 делится на 2 и на 3 = 1, на 5 и на 3 = 0

Слайд 16

2. Логическое сложение (дизъюнкция)
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью

союза «или».
Составное высказывание истинно только тогда, когда истинно хотя бы одно из двух простых высказывания.

Соответствует союзу ИЛИ В алгебре множеств это объединение
Обозначение +, V, ИЛИ, or F = A + B

Таблица истинности

Пр.: ●С=А∨В = в дверь видно более 2х сторон шкафа, если ~A~B~АилиВ=1
●Если проводник из меди или железа, то он проводит ток .

Слайд 17

3. Логическое отрицание (инверсия)
Присоединение частицы «не» к высказыванию.
Инверсия делает истинное высказывание ложным

и, наоборот.

Соответствует союзу НЕ
Обозначение Ā, ¬А, НЕ, not А
F = ¬ A

Таблица истинности

Пр:
С = ¬А = высота шкафа больше высоты двери
А=завтра будет снег → С=завтра не будет снега.

Слайд 18

4. Логическое следование (импликация)
Соответствует обороту Если…, то… (из А следует В)

Обозначение →, ⇨ В языках программирования if … then …
F = A → B

Импликация образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…».
Импликация ложна только тогда, когда из истинного первого высказывания (предпосылки) следует ложный вывод (второе высказывание).

Таблица истинности

Пр.:
● С= (А) если идет дождь, то (В) на небе тучи.
● Импликация несимметрична, А⇨В≠В⇨А , - если на небе тучи, то необязательно идет дождь
● Все пожилые люди пенсионеры, но не все пенсионеры пожилые люди

Слайд 19

5. Логическое равенство (эквивалентность)
Эквивалентность образуется соединением двух высказываний в одно с помощью

оборота речи «… тогда и только тогда, когда …».
Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания имеют одинаковое значение истинности - одновременно либо ложны, либо истинны.

Таблица истинности

Соответствует обороту тогда и только тогда, когда …
Обозначение ≡, ⬄, ~ F = A ≡ B

Пр:
3 больше 2 (А), а тигры полосатые (В).

Слайд 20

6. Логическое сложение по модулю (исключающее ИЛИ)
Исключающее ИЛИ образуется соединением двух

высказываний в одно с помощью оборота речи «… или один, или другой, но не оба вместе …».
Составное высказывание, образованное с помощью логической операции исключающее ИЛИ истинно тогда и только тогда, когда истинно только одно высказывание.

Таблица истинности

Соответствует обороту или один, или др, но не оба вместе
Обозначение ⮿, XOR, F = А⮿В

Пр:
Петя (А) или Вася(В) открыли квартиру.

Слайд 21

Логические выражения
Логическое выражение – формула, в которую входят логические переменные и

знаки логических операций.

Пример:

Порядок (приоритет) выполнения логических операций в сложном логическом выражении:
1. инверсия ¬
2. конъюнкция &
3. дизъюнкция V
4. импликация →
5. эквивалентность ≡
!!! Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки

Слайд 22

Найдите значения логических выражений

Слайд 23

Для логического выражения можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность

или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний.

Таблицы истинности

Слайд 24

Построение таблицы истинности
Подсчитать кол-во переменных в выражении =n.
Число строк в таблице

= 2n + заголовок.
Кол-во столбцов = n + кол-во операций.
Ввести названия столбцов: сначала переменные, затем операции в соответствии с приоритетом.
Ввести наборы значений переменных.
Вычислить значения операций для всех наборов переменных.
Алгоритм заполнения значений переменных:
Разделить колонку 1ой переменной пополам, 1я часть = 0, 2я = 1.
Разделить колонку 2ой переменной на 4 ч и заполнить их 0,1,0,1
Продолжать деление последующих колонок соответственно на 8, 16, 32 … части и заполнять части последовательно 0, 1, 0, 1, …

Слайд 25

ПРИМЕР: составить таблицу истинности для сложного логического выражения
Кол-во строк таблицы

22 +1 = 5, т.к. в формуле две переменные A и B – два простых высказывания.
Кол-во столбцов: 2 переменные + 5 лог. операций =7

Слайд 26

ПРИМЕР: составить таблицу истинности для сложного логического выражения D = не

A & ( B+C )

Кол-во строк = 23 +2 = 10 (n=3, т.к. на входе три элеманта А, В, С) – три простых высказывания.
Кол-во столбцов: 3 переменные + 3 лог операции =6

Слайд 27

Равносильные логические выражения
Равносильные логические выражения - у которых последние столбцы таблиц

истинности совпадают. Обозначают “=“. А*В = В*А
Докажите равносильность выражений:

Таблица истинности для

Слайд 28

Докажите равносильность выражений:
А+В+С=В+С+А
АВС=ВСА
А⬄В=¬А⬄¬В
(А+В)С=АС+ВС
АВ+С=(А+С)(В+С)
¬(А+В)=¬А¬В
¬(АВ)=¬А+¬В
АВ+¬АВ=В

(А+В)(¬А+В)=В
¬А(А+В)=¬АВ
А+¬АВ=А+В

Слайд 29

Выражение называется тождественно ложным (истинным), если оно принимает значение 0

(1) на всех наборах, входящих в него простых высказываний.
А⇨А =1
А∧¬А =0
А∨¬А =1
¬(х∨у)∧(х∧¬у) =0
¬ху∨¬(х∨у)∨х =1

Тождественные логические выражения

Слайд 30

Основные понятия ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
В алгебре логики высказывания рассматриваются как единый объект

с точки зрения истинности или ложности. Структура и содержание высказываний не рассматриваются.
Однако на практике для построения полноценного логического вывода важно иметь представление о структуре и содержании используемых в выводе высказываний.
Поэтому логика предикатов является, по сути, расширением логики высказывания, которую включает в себя в качестве составной части.

Слайд 31

Определение. Одноместным предикатом P(x) называется произвольная функция переменной x, определенная на

множестве М и принимающая значение из множества
.
Определение. Предикатом Р называется n-местная функция, определенная на производном множестве М и принимающая в качестве значений элементы из двухэлементного множества , где 0 и 1 интерпретируются как ложь и истина соответственно.
Выражение вида можно трактовать так, что переменные связаны отношением Р.

Слайд 32

Используя функциональную форму записи для предикатов, можно сказать, что предикатом Р(х1,

х2, …, хn) называется функция
Р:Мn→ В ,
где В – двоичное множество, а М – произвольное множество.

Слайд 33

Таким образом, n-местный предикат, − это двузначная функция от n аргументов,

определенная на произвольном множестве М, принимающая значение 0 или 1 (которые интерпретируются как ложь и истина соответственно).
Область определения М называется предметной областью предиката, а х1, х2, …, хn – предметными переменными.

Слайд 34

Возможность описывать с помощью предикатов не только функции, но и

отношения, определяется следующим:
а) если а1, а2, …, аn – элементы множества М, то каждому n - местному отношению R соответствует предикат Р такой, что
Р (а1, а2, …, аn)=1 тогда и только тогда, когда
(а1, а2, …, аn) ∈ R ;
б) всякий предикат Р(х1, х2, … хn) определяет отношение R, такое, что (а1,а2…аn)∈R, если и только если Р(а1, а2, … аn) = 1.
При этом R задает область истинности предиката Р.

Слайд 35

Таким образом, в общем случае предикат Р – двоичная переменная, то

есть переменное высказывание, истинность которого определяется значениями аргументов (х1, х2, …, хn) , а аргументы хi – чаще нелогические переменные.
После подстановки вместо хi конкретных элементов множества М предикат Р(а1,а2,…,аn) перестает быть переменной и принимает одно из двух возможных значений (0 или 1).

Слайд 36

Примеры.
1.Рассмотрим утверждение «x – целое число». Введем предикат I, обозначающий отношение

«быть целым числом», тогда в виде предикатного выражения утверждение может быть записано так : I(x).
2. Рассмотрим утверждение x < y. Введем предикат S с двумя аргументами, первый из которых меньше второго, тогда S(x,y) соответствует введенному утверждению.

Слайд 37

3. Элементы хi множества М – города.
Предикат Р(х) устанавливается таким

образом: «х – это столица Франции». Тогда Р(Воронеж)=0, а Р(Париж)=1.
4. Задана функция z=х+у, где х, у, z – действительные числа. Пусть предикат Р(х,у,z) соответствует этой функции.
Тогда Р(2, 3, 5)=1, а Р(7, 3, 8)=0.

Слайд 38

Пример (для предикатов определенных в предыдущем примере).
Пусть в обоих случаях предикаты

определены на множестве R – действительных чисел. Тогда
1) если x = 5, то предикат I(5) = 1;
если x = 7.3; то I(7.3) = 0;
2) если x = 5; y = 10.5, то S(5; 10.5) = 1;
если x = 27.1; y = 4.3, то S(27.1; 4.3) = 0.

Слайд 39

Предикат называется тождественно истинным, если на любом наборе аргументов он принимает

значение 1.

Предикат называется тождественно ложным, если на любом наборе аргументов он принимает значение 0.

Слайд 40

Квантор всеобщности (∀).
Пусть P(x) это предикат, определенный на множестве

М. Тогда под выражением − понимается высказывание, которое истинно для любого элемента .
Соответствующее этому высказыванию предложение можно сформулировать так:
«Для любого х выражение Р(х) истинно».

4_логика_предикаты

Содержание

Логика – это наука о формах и способах мышленияДжордж Буль (1815-1864)

Формы мышленияОсновные формы мышления:ПонятиеВысказывание (суждение)Утверждение, рассуждениеУмозаключениеЛогич выражение

1. Понятие Понятие – это форма мышления, отражающая основные, наиболее существенные свойства

2. ВысказываниеСуждение – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или

Какие из предложений являются высказыванием?Число 6 четное Посмотри на доскуВсе роботы машины Кто

Простые и сложные высказыванияОбоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне

3. УтверждениеУтверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнутьРассуждение – цепочка

4. УмозаключениеУмозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного

5. Логическое выражениеутверждение, состоящее из постоянных и обязательно переменных величин (объектов).

Алгебра высказыванийАлгебра высказываний служит для определения истинности или ложности составных высказываний

Высказывания могут быть простыми и сложными.Опр.: Высказывание является простым, если никакая

Опр.: сложные высказывания (выражения) состоят из простых (или сложных) высказываний, объединенных

Логические операции2.1. Логическое умножение (конъюнкция)2.2. Логическое сложение (дизъюнкция)2.3. Логическое отрицание (инверсия)2.4.

1. Логическое умножение (конъюнкция)Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с

2. Логическое сложение (дизъюнкция)Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью

3. Логическое отрицание (инверсия)Присоединение частицы «не» к высказыванию.Инверсия делает истинное высказывание ложным

4. Логическое следование (импликация)Соответствует обороту Если…, то… (из А следует В)

5. Логическое равенство (эквивалентность)Эквивалентность образуется соединением двух высказываний в одно с помощью

6. Логическое сложение по модулю (исключающее ИЛИ)Исключающее ИЛИ образуется соединением двух

Логические выраженияЛогическое выражение – формула, в которую входят логические переменные и

Найдите значения логических выражений

Для логического выражения можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность

Построение таблицы истинностиПодсчитать кол-во переменных в выражении =n.Число строк в таблице

ПРИМЕР: составить таблицу истинности для сложного логического выражения Кол-во строк таблицы

ПРИМЕР: составить таблицу истинности для сложного логического выражения D = не

Равносильные логические выраженияРавносильные логические выражения - у которых последние столбцы таблиц

Докажите равносильность выражений: А+В+С=В+С+А АВС=ВСА А⬄В=¬А⬄¬В (А+В)С=АС+ВС АВ+С=(А+С)(В+С) ¬(А+В)=¬А¬В ¬(АВ)=¬А+¬В АВ+¬АВ=В

Выражение называется тождественно ложным (истинным), если оно принимает значение 0

Основные понятия ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВВ алгебре логики высказывания рассматриваются как единый объект

Определение. Одноместным предикатом P(x) называется произвольная функция переменной x, определенная на

Используя функциональную форму записи для предикатов, можно сказать, что предикатом Р(х1,

Таким образом, n-местный предикат, − это двузначная функция от n аргументов,

Возможность описывать с помощью предикатов не только функции, но и

Таким образом, в общем случае предикат Р – двоичная переменная, то

Примеры.1.Рассмотрим утверждение «x – целое число». Введем предикат I, обозначающий отношение

3. Элементы хi множества М – города. Предикат Р(х) устанавливается таким

Пример (для предикатов определенных в предыдущем примере). Пусть в обоих случаях предикаты

Предикат называется тождественно истинным, если на любом наборе аргументов он принимает

Квантор всеобщности (∀). Пусть P(x) это предикат, определенный на множестве

Похожие презентации

Логика – это наука о формах и способах мышления
Джордж Буль
(1815-1864)

Формы мышления
Основные формы мышления:
Понятие
Высказывание (суждение)
Утверждение, рассуждение
Умозаключение
Логич выражение

1. Понятие
Понятие – это форма мышления, отражающая основные, наиболее существенные свойства

2. Высказывание
Суждение – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или

Какие из предложений являются высказыванием?
Число 6 четное Посмотри на доску
Все роботы машины Кто

Простые и сложные высказывания
Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне

3. Утверждение
Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть
Рассуждение – цепочка

4. Умозаключение
Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного

5. Логическое выражение
утверждение, состоящее из постоянных и обязательно переменных величин (объектов).

Алгебра высказываний
Алгебра высказываний служит для определения истинности или ложности составных высказываний

Высказывания могут быть простыми и сложными.
Опр.: Высказывание является простым, если никакая

Логические операции
2.1. Логическое умножение (конъюнкция)
2.2. Логическое сложение (дизъюнкция)
2.3. Логическое отрицание (инверсия)
2.4.

1. Логическое умножение (конъюнкция)
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с

2. Логическое сложение (дизъюнкция)
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью

3. Логическое отрицание (инверсия)
Присоединение частицы «не» к высказыванию.
Инверсия делает истинное высказывание ложным

4. Логическое следование (импликация)
Соответствует обороту Если…, то… (из А следует В)

5. Логическое равенство (эквивалентность)
Эквивалентность образуется соединением двух высказываний в одно с помощью

6. Логическое сложение по модулю (исключающее ИЛИ)
Исключающее ИЛИ образуется соединением двух

Логические выражения
Логическое выражение – формула, в которую входят логические переменные и

Построение таблицы истинности
Подсчитать кол-во переменных в выражении =n.
Число строк в таблице

ПРИМЕР: составить таблицу истинности для сложного логического выражения
Кол-во строк таблицы

Равносильные логические выражения
Равносильные логические выражения - у которых последние столбцы таблиц

Докажите равносильность выражений:
А+В+С=В+С+А
АВС=ВСА
А⬄В=¬А⬄¬В
(А+В)С=АС+ВС
АВ+С=(А+С)(В+С)
¬(А+В)=¬А¬В
¬(АВ)=¬А+¬В
АВ+¬АВ=В

Основные понятия ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
В алгебре логики высказывания рассматриваются как единый объект

Примеры.
1.Рассмотрим утверждение «x – целое число». Введем предикат I, обозначающий отношение

3. Элементы хi множества М – города.
Предикат Р(х) устанавливается таким

Пример (для предикатов определенных в предыдущем примере).
Пусть в обоих случаях предикаты

Квантор всеобщности (∀).
Пусть P(x) это предикат, определенный на множестве