Лекция 12. Интегрирование рациональных дробей, иррациональных дробей, тригонометрических функций

Интегрирование простейших рациональных дробей

Класс рациональных функций можно представить в виде

1

Интегралы вида:

(степень знаменателя дроби равна 1).

Замена переменной:

Пример.

Вычислить интеграл:

Решение:

2

Интегралы вида:

(где n>1 – целое число).

Замена переменной:

Пример.

Вычислить интеграл:

Решение:

3

Интегралы вида:

В знаменателе дроби выделяется полный квадрат и делается линейная замена переменной,

Второй интеграл при

сводится к табличному:

а при

сводится к табличному:

Примеры.

Вычислить интеграл:

1

Решение:

Вычислить интеграл:

2

Решение:

4

Метод неопределенных коэффициентов

Рассмотренный выше способ вычисления интегралов от рациональных дробей не

Этот метод связан с представлением подынтегральной дроби в виде суммы простых

1

Каждому неповторяющемуся множителю вида (x-a) отвечает в разложении простая дробь вида

2

Каждому множителю вида (x-a)n отвечает в разложении сумма n простых дробей

3

Каждому неповторяющемуся множителю вида (x2+px+q) отвечает в разложении простая дробь вида

4

Каждому множителю вида (x2+px+q)k отвечает в разложении сумма k простых дробей

Пример.

Вычислить интеграл:

Решение:

При

При

При