Содержание
- 2. Плоскость и её основные уравнения Рассмотрим плоскость P в прямоугольной декартовой системе координат.
- 3. Положение плоскости вполне определяется точкой и вектором нормали
- 5. Возьмём любую точку и построим вектор
- 6. Так как , то скалярное произведение или
- 7. Получили уравнение плоскости, заданной точкой и вектором нормали
- 8. Если в уравнении раскрыть скобки и обозначить то получим общее уравнение плоскости:
- 9. Теорема. Всякое уравнение вида определяет некоторую плоскость в пространстве.
- 10. Если в этом уравнении какой-либо из коэффициентов A, B, C равен нулю, то плоскость расположена параллельно
- 11. Например, при A = 0 плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ox;
- 12. Пусть в уравнении ни один из коэффициентов не равен 0. Перепишем это уравнение в виде разделим
- 13. Получим уравнение плоскости в отрезках:
- 14. где a, b, c – это величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат
- 16. Если три точки не лежат на одной прямой, то через эти точки проходит единственная плоскость:
- 18. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, имеет вид:
- 19. Пусть даны две плоскости и Угол φ между двумя плоскостями равен углу между их векторами нормали:
- 21. Расстояние d от точки до плоскости определяется по формуле
- 22. Пример. Даны две точки Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M1 перпендикулярно вектору
- 23. Решение. Поскольку искомая плоскость перпендикулярна вектору , то в качестве вектора нормали возьмем вектор
- 25. Подставив теперь в уравнение а также координаты точки M1: получим уравнение
- 26. или – это и есть искомое общее уравнение плоскости
- 27. Прямая в пространстве и её основные уравнения Рассмотрим прямую l в прямоугольной декартовой системе координат. Положение
- 29. Возьмем любую точку и построим вектор , из условия коллинеарности этих векторов получим канонические уравнения прямой
- 30. Обозначим коэффициент пропорциональности через параметр t и выразим через t переменные x, y, z. Приходим к
- 31. Уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) , имеет вид:
- 32. Рассмотрим две плоскости P1 : A1x + B1y + C1z+ D1 = 0 и P2 :
- 33. Эта система называется общим уравнением прямой в пространстве.
- 34. Угол φ между двумя прямыми l1 и l2 равен углу между их направляющими векторами и
- 35. Угол ψ между прямой и плоскостью Ax + By + Cz + D = 0 определяется
- 36. Пример. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки M1(3; 2; -1) и M2(4; 2;
- 37. Решение. Подставляем в формулу координаты точек M1(3; 2; -1) и M2(4; 2; 1):
- 38. или – канонические уравнения прямой (нуль в знаменателе означает, что направляющий вектор перпендикулярен оси Oy, т.е.
- 39. Запишем параметрические уравнения прямой:
- 40. Прямая на плоскости и её основные уравнения Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид или
- 41. где k = tg α – угловой коэффициент прямой, b – величина отрезка, отсекаемого этой прямой
- 43. Кроме того, прямую l на плоскости можно задать вектором нормали и точкой
- 45. Получим три уравнения, аналогичные уравнениям для плоскости: – уравнение прямой, заданной точкой и вектором нормали;
- 46. – общее уравнение прямой; – уравнение прямой в отрезках.
- 47. Прямая l на плоскости также определяется направляющим вектором и точкой
- 49. Получим еще 3 уравнения, аналогичные уравнениям прямой в пространстве: – каноническое уравнение прямой;
- 50. – параметрические уравнения прямой; – уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2).
- 51. Угол между двумя прямыми, заданными уравнениями: l1: и l2: можно найти по формуле
- 52. при этом т.е. ,
- 53. Расстояние d от точки M1(x1, y1) до прямой Ax + By + C = 0 вычисляется
- 54. Пример. Записать уравнения прямых, проходящих через точку M(– 2, 1) параллельно и перпендикулярно прямой 3x –
- 55. Решение. Перепишем общее уравнение прямой 3x – 4y + 12 = 0, выразив из него переменную
- 56. Получили уравнение прямой с угловым коэффициентом k = 3/4. Запишем уравнение прямой и проходящей через точку
- 57. то или
- 58. Составим уравнение прямой , проходящей через точку M(– 2,1). Так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны
- 59. или Прямые изображены на рис.
- 61. Скачать презентацию