Бином Ньютона. Полиномиальная формула. (Лекция 11)

Июль 31, 2022

Главная
Математика
Бином Ньютона. Полиномиальная формула. (Лекция 11)

Содержание

2. Содержание: Полиномиальный коэффициент Формула полинома Биномиальные коэффициенты Бином Ньютона Выводы Тема: Бином Ньютона. Полиномиальная формула Цель
3. Литература Глускин Л.М., Шор Л.А., Шварц В.Я. Задачи и алгоритмы комбинаторики, и теории графов. Донецк, ДПИ,
4. Базовые понятия: Множество Число Целое число Натуральное число Рациональное число Иррациональное число Степень Факториал Термины Ключевые
5. Полиномиальный коэффициент Def: определенная для всех натуральных n и всех наборов неотрицательных целых чисел k1,k2,…,km, для
6. Формула полинома Def: для любых действительных чисел а1,а2, …, аm не равных нулю и любого натурального
7. Пример Написать разложение полинома третьей степени Задание: определить полиномиальные коэффициенты в данном разложении
8. Биномиальные коэффициенты Обозначение: или Чтение: – «С из n по k»; – «n над k» Def:
9. Треугольник Паскаля Значения биномиальных коэффициентов могут быть последовательно определены из треугольника Паскаля:
10. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА ПАСКАЛЬ (Pascal) Блез (1623-1662) Французский математик, физик, религиозный философ и писатель Сформулировал одну из
11. Свойства биномиальных коэффициентов Симметрия: , Каждый коэффициент образуется путем сложения двух стоящих над ним (справа и
12. Биномиальные коэффициенты для рациональных значений Область определения биномиальных коэффициентов можно расширить, а именно: Def: функция определенная
13. Примеры
14. Формула бинома Ньютона Биномиальные коэффициенты формулы бинома Ньютона составляют в треугольнике Паскаля строку с номером n.
15. Историческая справка Слово «бином» (от латинского bis − дважды и греческого nomos − член) означает «двучлен»
17. Скачать презентацию

Слайд 2

Содержание:
Полиномиальный коэффициент
Формула полинома
Биномиальные коэффициенты
Бином Ньютона

Выводы

Тема: Бином Ньютона. Полиномиальная формула

Цель лекции – изучить формулы представления и свойства биномиальных и полиномиальных коэффициентов

Слайд 3

Литература
Глускин Л.М., Шор Л.А., Шварц В.Я. Задачи и алгоритмы комбинаторики, и

теории графов. Донецк, ДПИ, 1982. 368 с.
Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. М.: Наука, 1977. 368 с.
Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинаторики: Пер. с укр. М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства Наука, 1977. 80 с.
Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика. М.: Просвещение, 1976. 48 с.
Хаханов В.І., Хаханова І.В., Кулак Е.М., Чумаченко С.В. Методичні вказівки до практичних занять з курсу “Дискретна математика”. Харків, ХНУРЕ. 2001. С.63-67.

Слайд 4

Базовые понятия:
Множество
Число
Целое число
Натуральное число
Рациональное число
Иррациональное число
Степень
Факториал
Термины
Ключевые слова:
Бином
Полином
Биномиальный

(полиномиальный) коэффициент
Треугольник Паскаля

Слайд 5

Полиномиальный коэффициент
Def: определенная для всех натуральных n и всех наборов неотрицательных

целых чисел k1,k2,…,km, для которых k1+k2+ … + km=n, функция
Cn(k1,k2, …, km) или
определяемая формулой
называется полиномиальным коэффициентом.

Слайд 6

Формула полинома
Def: для любых действительных чисел а1,а2, …, аm не равных

нулю и любого натурального числа n имеет место формула:
при этом суммирование распространяется на все наборы натуральных чисел k1,k2, …, km, для которых k1+k2+ … + km=n.
При а1=а2= …=аm=1 формула принимает вид

Слайд 7

Пример
Написать разложение полинома третьей степени
Задание: определить полиномиальные коэффициенты в данном разложении

Слайд 8

Биномиальные коэффициенты
Обозначение: или
Чтение: – «С из n по k»; – «n

над k»
Def: для всех неотрицательных целых чисел , функция, заданная формулой
называется биномиальным коэффициентом.

Слайд 9

Треугольник Паскаля
Значения биномиальных коэффициентов могут быть последовательно определены из треугольника Паскаля:

Слайд 10

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
ПАСКАЛЬ (Pascal) Блез (1623-1662)
Французский математик, физик, религиозный философ

и писатель
Сформулировал одну из основных теорем проективной геометрии
Работы по арифметике, теории чисел, алгебре, теории вероятностей
Сконструировал (1641, по другим сведениям — 1642) суммирующую машину
Один из основоположников гидростатики, установил ее основной закон
Работы по теории воздушного давления

Слайд 11

Свойства биномиальных коэффициентов
Симметрия: ,
Каждый коэффициент образуется путем сложения двух

стоящих над ним (справа и слева):
Крайние значения известны для любого n:
В строке с номером n слева направо стоят значения:

Слайд 12

Биномиальные коэффициенты для рациональных значений
Область определения биномиальных коэффициентов можно расширить, а

именно:
Def: функция
определенная для ,
называется биномиальным коэффициентом.
Для a∈Z+ оба определения для биномиального коэффициента совпадают.

Слайд 13

Примеры

Слайд 14

Формула бинома Ньютона
Биномиальные коэффициенты формулы бинома Ньютона составляют в треугольнике Паскаля

строку с номером n.
Если заменить b на -b, то из формулы бинома Ньютона следует

Слайд 15

Историческая справка
Слово «бином» (от латинского bis − дважды и греческого

nomos − член) означает «двучлен»
Для натурального n формула бинома была известна задолго до Ньютона многим ученым разных времен и стран
Индусы знали формулу для биномиальных коэффициентов и умели их вычислять
Якоб Бернулли (1713г.) дал строгое доказательство для разложения натуральной степени бинома
Заслуга Ньютона заключается в том, что он распространил формулу на любое действительное n, а также показал, что формула верна и тогда, когда n является рациональным или иррациональным, положительным или отрицательным числом.
Ньютон был первым человеком в мире, начавшим систематически употреблять в алгебре показатели, отличные от целых положительных.

Бином Ньютона. Полиномиальная формула. (Лекция 11)

Содержание

Содержание: Полиномиальный коэффициент Формула полинома Биномиальные коэффициенты Бином Ньютона

ЛитератураГлускин Л.М., Шор Л.А., Шварц В.Я. Задачи и алгоритмы комбинаторики, и

Полиномиальный коэффициентDef: определенная для всех натуральных n и всех наборов неотрицательных

Формула полиномаDef: для любых действительных чисел а1,а2, …, аm не равных

ПримерНаписать разложение полинома третьей степениЗадание: определить полиномиальные коэффициенты в данном разложении

Биномиальные коэффициентыОбозначение: илиЧтение: – «С из n по k»; – «n

Треугольник ПаскаляЗначения биномиальных коэффициентов могут быть последовательно определены из треугольника Паскаля:

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА ПАСКАЛЬ (Pascal) Блез (1623-1662) Французский математик, физик, религиозный философ

Свойства биномиальных коэффициентов Симметрия: , Каждый коэффициент образуется путем сложения двух

Биномиальные коэффициенты для рациональных значенийОбласть определения биномиальных коэффициентов можно расширить, а