Частные производные различных порядков. Производная сложной функции. (Семинар 23)

переменных x,y: (2). В этом случае z есть сложная функция от аргументов x,y.
Если в общем случае z можно выразить через x,y непосредственно, а именно: (3), то частные производные находятся непосредственно.
Предположим, что имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Необходимо вычислить исходя из уравнений (1),(2), не пользуясь уравнением (3).
Даем аргументу x приращение , оставляя y неизменной, тогда u,v получают приращения . Но если u,v получают приращения , то и функция z=F(u,v) получит приращение , определяемое следующей формулой:
Разделим обе части равенства на :
Если (в силу непрерывности функций u,v), то . Переходя к пределу при получим
. Следовательно
(4) аналогично (4’)

зависят от одного аргумента x , то по сути z - функция от одного аргумента. Тогда можно рассмотреть вопрос о нахождении
Эта производная вычисляется по формуле
Но так как y,u,v – функции только одного переменного x, то частные производные обращаются в обыкновенные, и кроме того , поэтому
. Это формула для вычисления полной производной

полного дифференциала (*)
Подставляя выражения , определенные равенствами (4),(4’) получим
Выполнив преобразование в правой части, получим
(5) Но так как (6), то
равенство (5) с учетом равенства (6) можно переписать так:
(7) или (7’)

одного переменного. Пусть некоторая функция определена уравнением
F(x,y)=0
Теорема. Пусть непрерывная функция y от x задана уравнением (1), где
- непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку (x,y), координаты которой удовлетворяют уравнению (1); кроме того, в этой точке . Тогда функция y от x имеет производную
(2) Для имеют место формулы и .
Предполагается, что
Аналогичным образом определяются неявные функции любого числа переменных и находятся их частные производные.

которых можно снова находить частные производные. Частных производных второго порядка от функций двух переменных четыре, так как каждую из функций можно дифференцировать как по x, так и по y.
Обозначение:
- последовательное дифференцирование по x.
- последовательное дифференцирование по x, затем по y.
- последовательное дифференцирование по y, затем по x.
- последовательное дифференцирование по y.
Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по x, так и по y. Получаем частные производные третьего порядка. Их будет восемь
. В общем случае частная производная n- го порядка есть первая
производная от производной (n-1) порядка. Формула -
соответствует производной n-го порядка. Функция z сначала p раз дифференцируется по x, затем n-p раз по y.
Для функции любого числа переменных частные производные высших порядков определяются аналогично.

получаем
2) . Найти
Решение. Имеем
.
Выразив x,y через t, получаем
2. Найти полный дифференциал сложной функции
Решение
Имеем
Последнее выражение можно переписать в виде

явную (после разрешения уравнения относительно z) получили бы тот же результат
2) Решение
4. Найти производные различных порядков
1) . Найти
Решение
2) . Найти Решение
3) . Найти
Решение