Численное дифференцирование

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Численное дифференцирование

Содержание

2. При вычислении производной функции, будем иметь в виду, что один из способов найти производную - это
3. Таким образом, вычисляется производная в середине промежутка. По значениям f' можно таким же способом найти производную
4. Для производной третьего порядка можно использовать следующую формулу: Возникают естественные вопросы, откуда происходят эти формулы и
5. Односторонняя разность Производная функции определяется выражением: заменяем приращение на конечную величину (шаг дифференцирования): x0 f(x0) f(x0+Δx)
6. Односторонняя разность Численное дифференцирование: правосторонняя разность: левосторонняя разность: xi f(xi) f(xi+1) xi-1 xi+1 f(xi-1)
7. Двусторонняя разность Более точное значение производной: Двусторонняя разность: xi f(xi) f(xi+1) xi-1 xi+1 f(xi-1)
8. Формулы являются результатом дифференцирования интерполяционных многочленов Ньютона и других. Сущность которых состоит в том, что заданная
9. Оценка погрешности и точности вычисления не менее серьезный и сложный процесс, чем само приближенное вычисление. Так
10. На практике f (n+1)(c) оценивать непросто, поэтому при малых dx приближенно полагают: и тогда получается следующая
11. Мы будем пользоваться формулой (2), а впоследствии и формулой (3), в зависимости от конкретной задачи и
12. Частное дифференцирование функции от многих переменных Все аргументы функции становятся константами, кроме аргумента по которому проводится
13. Интерполяция полиномом Заданная таблица сглаживается какой-либо функцией P(x), являющейся интерполяционным полиномом, или полиномом, полученным с использованием
14. численное дифференцирование представляет собой операцию менее точную (иногда говорят — некорректную), чем интерполирование. Действительно, близость друг
15. Интерполяция конечными разностями В этом случае (x*= xi , i = 0,…, n) используется аппарат разложения
16. Выразим yi’, разделив предварительно на h и оставляя слагаемые с первой степенью шага h, получим
17. где — центральная разность первого порядка
18. Метод Рунге С целью оценки погрешности продифференцируем численно методом p-го порядка функцию f(xi) = yi ,
20. Скачать презентацию

Слайд 2

При вычислении производной функции, будем иметь в виду, что один из

способов найти производную
- это взять достаточно малые значения справа и слева на равном расстоянии от
- точке, в которой мы хотим найти производную.

Слайд 3

Таким образом, вычисляется производная в середине промежутка. По значениям f' можно

таким же способом найти производную от f', т.е. f''. Можно выразить f'' непосредственно через f(x):

Слайд 4

Для производной третьего порядка можно использовать следующую формулу:
Возникают естественные вопросы,

откуда происходят эти формулы и как оценивать точность вычисления производных по этим формулам?

Слайд 5

Односторонняя разность
Производная функции определяется выражением:
заменяем приращение на конечную величину (шаг

дифференцирования):

f(x0)

f(x0+Δx)

x0+Δx

Δx

Слайд 6

Односторонняя разность
Численное дифференцирование:
правосторонняя разность:
левосторонняя разность:
xi
f(xi)
f(xi+1)
xi-1 xi+1
f(xi-1)

Слайд 7

Двусторонняя разность
Более точное значение производной:
Двусторонняя разность:
xi
f(xi)
f(xi+1)
xi-1 xi+1
f(xi-1)

Слайд 8

Формулы являются результатом дифференцирования интерполяционных многочленов Ньютона и других. Сущность которых

состоит в том, что заданная функция f(x) представляется в виде многочлена, который значительно проще дифференцировать, чем какие-либо другие функции, особенно трансцендентные или представляющие собой сложные выражения.

Слайд 9

Оценка погрешности и точности вычисления не менее серьезный и сложный процесс,

чем само приближенное вычисление. Так для оценки погрешности дифференцирования могут быть применены следующие формулы:

где предполагается, что функция f(x) дифференцируемая
n + 1 раз, а точка

- некоторое промежуточное значение между x0 - точкой, в которой находится производная и точками (x0 - 2dx), (x0 - dx), (x0 + dx), (x0 + 2dx), ...
из заданного промежутка [a, b].

(2)

Слайд 10

На практике f (n+1)(c) оценивать непросто, поэтому при малых dx приближенно

полагают: и тогда получается следующая формула

(3)

Слайд 11

Мы будем пользоваться формулой (2), а впоследствии и формулой (3), в

зависимости от конкретной задачи и тех сложностей, которые могут возникнуть при составлении программ. Используя эти формулы, составим функцию для вычисления первой производной. Точность вычисления eps задается пользователем, а первоначальная величина промежутка dx устанавливается 1, а затем, для уточнения вычисления - делится на 2.

Слайд 12

Частное дифференцирование функции от многих переменных
Все аргументы функции становятся константами, кроме

аргумента по которому проводится дифференцирование
Требуемый порядок производной получается путем последовательного вычисления производных, вплоть до требуемого порядка

Слайд 13

Интерполяция полиномом
Заданная таблица сглаживается какой-либо функцией P(x), являющейся интерполяционным полиномом, или

полиномом, полученным с использованием МНК (метода наименьших квадратов) с некоторой погрешностью Rn(x), в результате чего имеют место следующие равенства:
f(x) = P(x) + Rn(x), f(x*) = P(x*) + Rn(x*):
f′(x) = P′(x) + R′n(x), f′(x*) = P′(x*) + R′n(x*):
f′′(x) = P′′(x) + R′′n(x), f′′(x*) = P′′(x*) + R′′n(x*)

Слайд 14