Дифференциальным уравнением

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее производные от искомой функции или

Примеры ДУ:

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком ДУ.
Решением ДУ называется

Пример 1. Показать, что данная функция является решением ДУ

Решение:

Т.о. функции вида являются решениями данного ДУ при любом выборе постоянных

Дифференциальные уравнения I порядка

Пример 2. ДУ:

-общее решение

частные решения

Геометрически:

Общее решение ДУ есть семейство интегральных кривых на плоскости Оху;
Частное решение

Задача отыскания конкретного частного решения данного ДУ по начальным данным называется

Пример 3. Решить задачу Коши:

-общее решение

Решение:

Подставим в общее решение

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если в уравнении функция f(x,y)

1. ДУ I порядка с разделёнными переменными.

Если каждая часть ДУ представляет

Пример 4. Решить ДУ:

Решение:

С

общее решение:

или

Геометрически: получили семейство концентрических окружностей

Пример 5. Решить ДУ:

Решение:

С

общее решение:

или

х

у

0

С=1

С=1

С=3

С=3

С=-2

С=-2

2. ДУ I порядка с разделяющимися переменными.

Уравнения, в которых переменные разделяются,

интегрируем:

Замечание:

При проведении почленного деления ДУ на
могут быть потеряны некоторые

Пример 6. Найти общее и частное решение ДУ:

Решение:

⇒

1) Найдём общее

Итак, общее решение ДУ:

2) Найдём частное решение ДУ, если

Подставим

Геометрически:

х

у

общее решение
частное решение

у = 2х

(5;10)

Пример 7. Найти общее решение ДУ:

Решение:

или

⇒

Ответ. Общее решение:

Нахождение особого решения:

Здесь уравнение имеет вид ху=0 Его решения х=0, у=0

Пример 8. Найти общее решение ДУ:

Решение:

или

⇒

Геометрически:

общее решение

С=5

С=3

С=1

С=-2

С=-5

х

у

Пример 9. Решить задачу Коши:

Решение:

1) Найдём общее решение ДУ:

или

Итак, общее решение ДУ:

С

2) Найдём частное решение ДУ, если

Подставим эти начальные условия в

Геометрически:

общее решение
частное решение

(0;1)

С=5

С=-3

С=-6

С=0

х

у

Пример 10. Решить задачу Коши:

Решение:

1) Найдём общее решение ДУ:

Итак, общее решение ДУ:

⇒

2) Найдём частное решение ДУ, если

Подставим эти начальные условия в