Численное интегрирование

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Численное интегрирование

Содержание

2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке то определенный интеграл от этой функции в пределах от a
3. Найти определенный интеграл на отрезке если подынтегральная функция на отрезке задана таблично. Формулы приближенного интегрирования называются
4. Постановка задачи: (1) (2) 0 x y a b x0 x1 xn-1 xn
5. Погрешность численного интегрирования - погрешность вычисления интеграла - погрешность в целом - погрешность в малом -
6. Связь Пусть и
7. Метод прямоугольников основан на непосредственном определении интеграла: где - интегральная сумма, соответствующая некоторому разбиению отрезка и
8. Вычисление определенного интеграла геометрически сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией f(x), осью абсцисс и
9. Учитывая, что высота Прямоугольника ABba есть значение функции в точке f(x) –
10. Для увеличения точности численного интегрирования можно отрезок разбить на несколько частей и для каждой из них
11. Практически удобно делить отрезок на равные части, а точки (i = 0, 1, …, n –
12. Если точку совместить с левым концом отрезка то приближенное значение интеграла может быть представлено формулой левых
14. Если же в качестве точки выбрать правый конец отрезка то приближенное значение интеграла вычисляется по формуле
16. Формула средних прямоугольников a b f(x) x0 xn – составная формула
17. Погрешность формул средних прямоугольников
18. Метод трапеций Заменим на отрезке дугу AB графика подынтегральной функции y = f(x) стягивающей ее хордой
20. Если отрезок разделить на несколько частей и применить формулу трапеции к каждому отрезку Тогда
22. Для простоты вычислений удобно разделить отрезок на равные части, в этом случае длина каждого из отрезков
23. А на всем отрезке соответственно Эта формула называется общей формулой трапеции. Ее можно переписать в виде
24. Погрешность формулы трапеций
25. Составная формула трапеции
26. Метод парабол (метод Симпсона) h h
27. Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)
28. Формула Симпсона
30. Определитель матрицы отличен от 0 => система уравнений имеет единственное решение
31. Через данные точки проходит единственная квадратичная парабола
32. Вычислим значение функции в точках
33. Найдём интеграл
34. Для увеличения точности вычислений отрезок разбивают на n пар участков и заменяя подынтегральную функцию интерполяционным многочленом
35. ……………………………………
36. Тогда численное значение определенного интеграла на отрезке будет равно сумме интегралов Это соотношение называется общей формулой
37. Составная формула Симпсона
38. Пример: Вычислить определённый интеграл График подынтегральной функции
39. Ответ:
40. Метод Монте-Карло Методы Монте-Карло – это общее название группы методов для решения различных задач с помощью
41. Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: Требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают
42. Пример использования метода Монте-Карло Предположим, что нам нужно определить площадь плоской фигуры, расположенной внутри квадрата, сторона
44. Скачать презентацию

Слайд 2

Если функция f(x)
непрерывна на отрезке
то определенный интеграл
от этой

функции
в пределах от a до b
существует и имеет вид

Слайд 3

Найти определенный интеграл
на отрезке
если подынтегральная функция
на отрезке задана

таблично.
Формулы
приближенного интегрирования
называются
квадратурными формулами.

Задача численного интегрирования

Слайд 4

Постановка задачи:
(1)
(2)
0
x
y
a
b
x0
x1
xn-1
xn

Слайд 5

Погрешность численного интегрирования
- погрешность вычисления интеграла
- погрешность в целом
- погрешность в

малом

- погрешность вычисления интеграла

Слайд 6

Связь
Пусть
и

Слайд 7

Метод прямоугольников
основан на непосредственном
определении интеграла:
где
- интегральная сумма, соответствующая

некоторому разбиению отрезка

и некоторому выбору точек

,…,

на отрезках разбиения

Слайд 8

Вычисление определенного
интеграла
геометрически сводится
к вычислению площади
криволинейной трапеции,

ограниченной функцией f(x),
осью абсцисс и прямыми x = a и x = b.

Слайд 9

Учитывая,
что высота
Прямоугольника
ABba есть
значение
функции
в точке
f(x)
–

Слайд 10

Для увеличения точности
численного интегрирования
можно отрезок
разбить на несколько

частей
и для каждой из них вычислить
приближенное значение
площади криволинейной
трапеции, основанием которой
является отрезок

(i = 0, 1, …,n – 1),
а высотой число

т.е. значение функции
в точке

Слайд 11

Практически удобно делить
отрезок
на равные части, а точки
(i = 0, 1, …, n – 1)

совмещать с левыми

или с правыми

концами отрезков разбиения.

Слайд 12

Если точку
совместить с левым концом
отрезка
то приближенное значение

интеграла может быть
представлено
формулой левых
прямоугольников:

где

– шаг.

Слайд 13

Слайд 14

Если же в качестве точки
выбрать правый конец отрезка
то

приближенное значение
интеграла вычисляется
по формуле правых
прямоугольников:

Слайд 15

Слайд 16

Формула средних прямоугольников
a
b
f(x)
x0
xn
– составная формула

Слайд 17

Погрешность формул средних прямоугольников

Слайд 18

Метод трапеций
Заменим на отрезке
дугу AB графика
подынтегральной функции y = f(x)

стягивающей ее хордой и
вычислим площадь трапеции ABba.
Примем значение определенного
интеграла численно равным
площади этой трапеции:

Это и есть формула трапеций

Слайд 19

Слайд 20

Если отрезок
разделить на несколько
частей и применить
формулу трапеции

к каждому отрезку

Тогда

Слайд 21

Слайд 22

Для простоты вычислений
удобно разделить отрезок
на равные части,
в

этом случае длина
каждого из отрезков
разбиения есть

Численное значение
интеграла на отрезке

равно

Слайд 23

А на всем отрезке
соответственно
Эта формула называется
общей формулой трапеции.

Ее можно переписать в виде

где

– шаг.

Слайд 24

Погрешность формулы трапеций

Слайд 25

Составная формула трапеции

Слайд 26

Метод парабол (метод Симпсона)
h
h

Слайд 27

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)

Слайд 28

Формула Симпсона

Слайд 29

Слайд 30

Определитель матрицы отличен от 0 => система уравнений имеет единственное решение

Слайд 31

Через данные точки проходит единственная квадратичная парабола

Слайд 32

Вычислим значение функции в точках

Слайд 33

Найдём интеграл

Слайд 34

Для увеличения точности
вычислений отрезок
разбивают на n пар участков

и заменяя подынтегральную
функцию интерполяционным
многочленом Ньютона
второй степени, получают
приближенное значение
интеграла на каждом участке
длины 2h:

Слайд 35

……………………………………

Слайд 36

Тогда численное значение
определенного интеграла
на отрезке
будет равно сумме

интегралов

Это соотношение называется
общей формулой Симпсона.
Ее можно записать также в виде

где

Слайд 37

Составная формула Симпсона

Слайд 38

Пример: Вычислить определённый интеграл
График подынтегральной функции

Слайд 39

Ответ:

Слайд 40

Метод Монте-Карло
Методы Монте-Карло – это общее название группы методов для

решения различных задач с помощью случайных последовательностей. Название этой группе методов дал город Монте-Карло – столица европейского игорного бизнеса (казино).

Слайд 41

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем:
Требуется найти значение а некоторой

изучаемой величины.
Для этого выбирают такую случайную величину X, математическое ожидание которой равно а:
М(Х)=A.

Слайд 42

Пример использования метода Монте-Карло
Предположим, что нам нужно определить площадь плоской фигуры,

расположенной внутри квадрата, сторона которого равна единице , при этом площадь квадрата Sкв=1. Выберем внутри квадрата наугад N точек. Обозначим через M количество точек, попавших при этом внутрь фигуры. Тогда площадь фигуры S приближенно равна отношению M/N . Отсюда, чем больше N, тем больше точность такой оценки.

S/Sкв≈M/N или
S ≈ M/N

Численное интегрирование

Содержание

Если функция f(x) непрерывна на отрезке то определенный интеграл от этой

Найти определенный интеграл на отрезке если подынтегральная функция на отрезке задана

Постановка задачи:(1)(2)0xyabx0x1xn-1xn

Погрешность численного интегрирования- погрешность вычисления интеграла- погрешность в целом- погрешность в

Связь Пустьи

Метод прямоугольниковоснован на непосредственном определении интеграла:где - интегральная сумма, соответствующая

Вычисление определенного интеграла геометрически сводится к вычислению площади криволинейной трапеции,

Учитывая, что высота Прямоугольника ABba есть значение функции в точке f(x)–

Для увеличения точности численного интегрирования можно отрезок разбить на несколько

Практически удобно делить отрезок на равные части, а точки (i = 0, 1, …, n – 1)

Если точку совместить с левым концом отрезка то приближенное значение

Если же в качестве точки выбрать правый конец отрезка то

Формула средних прямоугольниковabf(x)x0xn– составная формула