Численное дифференцирование и интегрирование функций

Данную функцию на интересующем отрезке [a,b] заменяют интерполирующей функцией P(x) (чаще полиномом) и полагают

Если известна погрешность для интерполирующей функции

то погрешность производной выражается формулой

То же самое относится и к производным высших порядков.

,

,

,

Заранее должно быть известно о существовании соответствующих производных. Для нахождения производных функцию y(x) заменим интерполяционным полиномом Ньютона, построенном для системы узлов xj (j=0,1,2,…k, k ≤ n).

где

В качестве x0 следует брать ближайшее табличное значение аргумента.

Для данной системы узлов построим интерполяционный полином Лагранжа.

где

Тогда в силу единственности решения

где ξ = ξ(x) – промежуточное значение между точками x0,x1,…xn ,
y(n) – n-ая производная по x.

где

Приближенные и, в первую очередь, численные методы вычисления определенных интегралов применяются, когда:
Первообразная не может быть найдена аналитически или имеет очень сложный вид,
f(x) задана таблично (само понятие первообразной теряет смысл).

Задача численного интегрирования заключается в нахождении определенного интеграла на основе ряда значений подынтегральной функции.

Численное вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой, двойного – механической кубатурой. Соответствующие формулы называются квадратурными и кубатурными.

Более точным является метод, называемый методом средних и использующий значение функции в средних точках элементарных отрезков (в полуцелых узлах)

(i=1, 2,..., n)

Если шаг задания узлов hi постоянный,
формула приобретает вид

5.6. Метод прямоугольников

(i=1, 2,..., n)

При постоянном шаге интерполяции

а интеграла (I2), полученного методом трапеций, примерно в 2 раза больше и имеет противоположный знак:

На основании этого можно записать уточненную формулу для вычисления определенного интеграла с использованием значений I1 и I2:

В качестве φi(x) можно взять интерполяционный многочлен Лагранжа, проходящий через точки Mi-1(xi-1,yi-1) , Mi(xi,yi) , Mi+1(xi+1,yi+1) :

(xi-1≤x≤xi)

Элементарная площадь может быть вычислена аналитически и с учетом того, что шаг интерполирования h постоянный, получим следующее выражение

Точность метода Симпсона составляет 6 знаков. Главный член погрешности этого метода

имеет тот же порядок, что и комбинированный метод прямоугольников и трапеций, т.е. на порядок лучше, чем для отдельно взятых методов прямоугольников и трапеций.

где Ai – некоторые постоянные коэффициенты. Введем обозначения

и представим полином Лагранжа в виде

Разобьем отрезок интегрирования [a,b] на n равных частей с шагом h. Будем считать, что функция задана в узлах yi=f(xi), i=0, 1, 2,…, n. Заменим подынтегральную функцию интерполяционным полиномом Лагранжа и получим приближенную квадратурную формулу:

где

Коэффициенты Кортеса обладают следующими свойствами:

Формулы методов прямоугольника, трапеций и Симпсона являются частыми случаями формулы Ньютона-Кортеса.

Формулы методов прямоугольника, трапеций и Симпсона являются частыми случаями формулы Ньютона-Котеса.

при k нечетном

Постановка задачи: подобрать точки t1, t2, …tn и коэффициенты А1, А2,…Аn, чтобы квадратурная формула

была точной для всех полиномов f(t) наивысшей возможной степени N . Так как у нас 2n неизвестных, а полином степени 2n-1 определяется 2n коэффициентами, то высшая степень полинома N = 2n-1. Для обеспечения приведенного сверху равенства необходимо и достаточно, чтобы оно было верным при

Для решения поставленной задачи достаточно определить t1, t2, …tn и А1, А2,…Аn, из нелинейной системы 2n уравнений :

Далее применяется искусственный прием. Рассмотрим полиномы f(t), сконструированные в том числе из полиномов Лежандра

(2)

или

Это равенство будет заведомо справедливо , если положить

То есть для достижения наивысшей точности квадратурной формулы в качестве ti взять нули соответствующих полиномов Лежандра, далее, подставив их в систему (2), которая относительно Ai будет линейной, найти эти коэффициенты. Подстановка найденных значений ti и Ai в выражение (1) даст квадратурную формулу Гаусса.

Обыкновенные дифференциальные уравнения содержат одну или несколько производных искомой функции y=y(x) и могут быть записаны в виде

Наивысший порядок n входящей в уравнение производной называется порядком дифференциального уравнения.

называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

Уравнение, имеющее вид

Решением дифференциального уравнения всякая функция y = φ(x), которая после её подстановки в уравнение, превращает его в тождество. Графическое представление решения – интегральная кривая.

Частное решение дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным константам придать определенные значения.

Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения порядка n содержит n постоянных C1, C2,…Cn.

Геометрическая интерпретация линейного дифференциального уравнения первого порядка. Поскольку производная характеризует наклон касательной к интегральной кривой в данной точке, то при dy/dx=k получаем уравнение линии постоянного наклона, называемой изоклиной. Меняя k, получаем семейство изоклин. Общее решение описывает бесконечное семейство интегральных кривых с параметром С, а частному решению соответствует одна кривая этого семейства.

В зависимости от способа задания дополнительных условий существуют два типа задач:
Задача Коши: дополнительные условия задаются в одной точке (начальной точке) и называются начальными условиями.
Краевая задача: дополнительные условия задаются более, чем в одной точке (как правило, на границах области существования решения), называются граничными или краевыми условиями.

Для выделения частного решения из общего решения дифференциального уравнения порядка n следует задать столько дополнительных условий, сколько произвольных постоянных C1, C2,…Cn в общем решении.

Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей и получим последовательность значений аргумента xi = x0 +i∙h, где h - шаг интегрирования. Будем считать, что x0 и y0 заданы.

Функцию y=F(x) можно разложить в ряд Тейлора и, с точностью до членов O(h2), записать

Производные dky/dxk определяются последовательным дифференцированием уравнения dy/dx=f(x,y).

Вместо непосредственных вычислений производных в методе Рунге-Кутта определяются 4 числа:

В результате :

Рассмотрим уравнение вида

Краевая задача состоит в отыскании решения Y=Y(x) на отрезке [a,b], удовлетворяющего граничным условиям
Y(a)=A, Y(b)=B

Для нахождения приближенного решения выбирается линейно независимая (базисная) система дважды дифференцируемых функций φ0(x), φ1(x), φ2(x),…, φn(x). При этом φ0(x) удовлетворяет данным граничным условиям, а φ1(x), φ2(x),…, φn(x) – однородным. Искомое решение представляется в виде линейной комбинации:

Невязка :

Коэффициента ai стараются подобрать так, чтобы невязка была минимальной.

6.4.2. Метод наименьших квадратов

Основан на минимизации суммы квадратов невязок в заданной системе точек xi, принадлежащих отрезку [a,b]. Из этого условия также получается система n алгебраических уравнений относительно коэффициентов ai.

6.4.3. Метод Галеркина

Основан на требовании ортогональности базисных функций к невязке, которое выражается в виде

Сущность метода стрельбы заключается в сведении краевой задачи к задаче Коши с начальными условиями:

Считая решение задачи Коши Y=Y(x,α), зависящим от параметра α, ищется такая интегральная кривая, которая выходит из точки (0,y0) и попадает в точку (1,y1). На основании чего можно записать уравнение относительно α :

Решение будем искать на отрезке [0,1]. Граничные условия:

и решить его любым методом (например, делением отрезка пополам).