Численное решение уравнений нелинейной оптики

Содержание

Слайд 2

Содержание Описание световых волн. Уравнения для электромагнитных волн. Линейный режим взаимодействия

Содержание

Описание световых волн. Уравнения для электромагнитных волн.
Линейный режим взаимодействия

света с веществом.
Нормировка динамических уравнений.
Решение уравнений методом расщепления.
Решение уравнений с учётом дифракции.
Описание нелинейного режима взаимодействия света с веществом.
Слайд 3

Цель решения уравнений Современные оптические системы представляют собой сложные комплексы из

Цель решения уравнений

Современные оптические системы представляют собой сложные комплексы из различных

оптических элементов, в каждом из которых происходит взаимодействие оптического излучения (или электромагнитного излучения других диапазонов – например, терагерцового диапазона) с различными материалами.
Необходимо иметь возможность предсказывать как ведет себя оптическое излучение в различных условиях, для этих целей все чаще используется численное моделирование.
Слайд 4

Электромагнитная природа света В рамках электромагнитной теории все излучение подчиняется законам

Электромагнитная природа света

В рамках электромагнитной теории все излучение подчиняется законам Максвелла

D

- электрическая индукция, B - магнитная индукция, E - напряжённость электрического поля, H - напряжённость магнитного поля, j - плотность электрического тока, ρ − плотность стороннего электрического заряда
Слайд 5

Уравнения Максвелла При решении оптических задач очень часто отсутствуют свободные заряды

Уравнения Максвелла

При решении оптических задач очень часто отсутствуют свободные заряды и

токи:

А также вместо индукции поля используют поляризацию:

ε0 , μ0 – электрическая и магнитная постоянные, для которых справедливо ε0 μ0 =1/c2

Большинство сред в оптике немагнитные, т.е.
M = 0

Слайд 6

Уравнения Максвелла Получается система Применяя оператор ротора к третьему уравнению системы

Уравнения Максвелла

Получается система

Применяя оператор ротора к третьему уравнению системы и подставляя

четвертое, получаем волновое уравнение Максвелла
Слайд 7

Волновое уравнение Максвелла Для решения необходимо знать связь между P и

Волновое уравнение Максвелла

Для решения необходимо знать связь между P и E

–
материальные уравнения, они различны для разных сред
Слайд 8

Материальные уравнения В самом общем виде линейная поляризация зависит от прошлых

Материальные уравнения

В самом общем виде линейная поляризация зависит от прошлых значений

поля в данной точке (если отклик среды локальный)

PNL обычно является малым по отношению к PL и в первом приближении им можно пренебречь

Слайд 9

Содержание Описание световых волн. Уравнения для электромагнитных волн. Линейный режим взаимодействия

Содержание

Описание световых волн. Уравнения для электромагнитных волн.
Линейный режим взаимодействия

света с веществом.
Нормировка динамических уравнений.
Решение уравнений методом расщепления.
Решение уравнений с учётом дифракции.
Описание нелинейного режима взаимодействия света с веществом.
Слайд 10

Линейный режим Так как зависимость между PL и E представляет собой

Линейный режим

Так как зависимость между PL и E представляет собой свертку

ее удобно записывать в спектральном виде (после применения преобразования Фурье свертка превращается в произведение функций)
Слайд 11

Линейный режим ε(ω) − Зависимость в общем случае комплексная, она описывает

Линейный режим

ε(ω) − Зависимость в общем случае комплексная, она описывает как

дисперсию, так и поглощение, в случае отсутствия поглощения ε(ω) = n2(ω)
В случае изотропной среды в линейном приближении

Тогда

Слайд 12

Вид скалярных уравнений Уравнение Шредингера для огибающей Очень часто α считают

Вид скалярных уравнений

Уравнение Шредингера для огибающей

Очень часто α считают равным 0,

а также пренебрегают последними двумя слагаемыми в этом уравнении, при этом надо учитывать что дисперсия описана здесь описана в следующем виде:
Слайд 13

Вид скалярных уравнений Уравнение для поля импульса с использованием приближения однонаправленного

Вид скалярных уравнений

Уравнение для поля импульса с использованием приближения однонаправленного распространения

(без

учета дифракции, т.е. в оптическом волокне)

при этом дисперсия задана в виде

Слайд 14

Вид скалярных уравнений Уравнение для поля импульса с использованием приближения однонаправленного

Вид скалярных уравнений

Уравнение для поля импульса с использованием приближения однонаправленного распространения

(с

учетом дифракции)

Здесь E уже зависит от трех координат и времени

- Поперечный лапласиан

Слайд 15

Содержание Описание световых волн. Уравнения для электромагнитных волн. Линейный режим взаимодействия

Содержание

Описание световых волн. Уравнения для электромагнитных волн.
Линейный режим взаимодействия

света с веществом.
Нормировка динамических уравнений.
Решение уравнений методом расщепления.
Решение уравнений с учётом дифракции.
Описание нелинейного режима взаимодействия света с веществом.
Слайд 16

Нормировка уравнения или

Нормировка уравнения

или

Слайд 17

Отступление про вычислительную точность Дробные числа в памяти компьютера могут иметь

Отступление про вычислительную точность

Дробные числа в памяти компьютера могут иметь одинарную,

либо двойную точность
Одинарная точность – 4 байта – минимальное положительное число имеет порядок 10-38, максимальное: 1038 при этом хранятся около 7 значащих цифр.
Двойная точность – 8 байт – минимальное положительное число имеет порядок 10-308, максимальное: 10308, при этом хранятся около 15 значащих цифр
Слайд 18

Отступление про вычислительную точность При этом надо помнить, что для компьютера

Отступление про вычислительную точность
При этом надо помнить, что для компьютера
после вычисления
a

= 1
a = a + 10-20
a будет равно по прежнему 1
Слайд 19

Слайд 20

Содержание Описание световых волн. Уравнения для электромагнитных волн. Линейный режим взаимодействия

Содержание

Описание световых волн. Уравнения для электромагнитных волн.
Линейный режим взаимодействия

света с веществом.
Нормировка динамических уравнений.
Решение уравнений методом расщепления.
Решение уравнений с учётом дифракции.
Описание нелинейного режима взаимодействия света с веществом.
Слайд 21

Решение методом расщепления по физическим факторам Метод расщепления состоит в последовательном решении

Решение методом расщепления по физическим факторам


Метод расщепления состоит в последовательном решении

Слайд 22

В случае уравнения с дифракцией для поля

В случае уравнения с дифракцией для поля

Слайд 23

Дисперсионное уравнение Данное уравнение может быть переписано в спектральной области (применяя

Дисперсионное уравнение

Данное уравнение может быть переписано в спектральной области (применяя преобразование

Фурье к каждой из частей) и используя
Слайд 24

Дисперсионное уравнение Либо в более общем виде Можно заменить производную по

Дисперсионное уравнение

Либо в более общем виде

Можно заменить производную по z конечной

разностью (апроксимация первого порядка по Δz)

Получим

Слайд 25

Решение дисперсионного уравнения Однако такое уравнение имеет точное решение

Решение дисперсионного уравнения

Однако такое уравнение имеет точное решение

Слайд 26

Решение дисперсионного уравнения Таким образом для решения дисперсионного уравнения необходимо посчитать

Решение дисперсионного уравнения

Таким образом для решения дисперсионного уравнения необходимо
посчитать спектр

поля
умножить спектр на экспоненту от дисперсионной функции
посчитать обратный спектр
Можно использовать алгоритм БПФ
Слайд 27

Про преобразование Фурье В случае когда сигнал у нас задан на

Про преобразование Фурье

В случае когда сигнал у нас задан на сетке

в виде отсчетов sk справедлива следующая формула

Для того чтобы посчитать эти коэффициенты в общем случае требуется O(n2) операций

Слайд 28

Отступление про сложность алгоритмов Определение f(n)=O(g(n)) В нашем случае f(n) –

Отступление про сложность алгоритмов

Определение f(n)=O(g(n))

В нашем случае f(n) – количество операций

необходимых для расчета спектра сигнала из n отсчетов, а g(n)=n2
В общем случае для произвольного алгоритма расчет g(n) – сложная задача
Слайд 29

Сложность алгоритмов вычисления преобразования Фурье Для ДПФ необходимо O(n2) операций, где

Сложность алгоритмов вычисления преобразования Фурье

Для ДПФ необходимо O(n2) операций, где n

– размер массива входных данных, т.е. количество отсчетов.
Для БПФ необходимо O(n log(n)) операций.

Так как

Основание алгоритма становится неважно

т.е., например

Слайд 30

Отступление про сложность алгоритмов Разного вида сложности

Отступление про сложность алгоритмов

Разного вида сложности

Слайд 31

БПФ Ограничения накладываемые на данные из-за использования БПФ 1) Равномерная сетка,

БПФ

Ограничения накладываемые на данные из-за использования БПФ
1) Равномерная сетка, т.е. ti+1-ti

= Δt
2) Количество отсчетов равно степени 2: т.е. N=2,4,8,16,32,64,…,1024,2048,4096,…
Слайд 32

Содержание Описание световых волн. Уравнения для электромагнитных волн. Линейный режим взаимодействия

Содержание

Описание световых волн. Уравнения для электромагнитных волн.
Линейный режим взаимодействия

света с веществом.
Нормировка динамических уравнений.
Решение уравнений методом расщепления.
Решение уравнений с учётом дифракции.
Описание нелинейного режима взаимодействия света с веществом.
Слайд 33

Решение дифракционного уравнения Переходим в спектральную область

Решение дифракционного уравнения

Переходим в спектральную область

Слайд 34

Память и время работы Предположим G у нас зависит от 3

Память и время работы

Предположим G у нас зависит от 3 координат

и времени, тогда если мы ведем расчет используя z как координату распространения нам необходимо для каждого значения z иметь функцию G(t,x,y). Предположим у нас сетка t от 1 до 1024, x от 1 до 1024, y от 1 до 1024, тогда Gt,x,y займет в памяти компьютера 1024 x 1024 x 1024 ячейки (16 Гб), а для расчета спектра понадобится
С · 1024 · 1024 · 1024 · log (1024)
операций
Слайд 35

Скорость работы компьютера Одна из характеристик процессоров – тактовая частота, например

Скорость работы компьютера

Одна из характеристик процессоров – тактовая частота, например 3

ГГц, т.е.
3 000 000 000 тактов в секунду.
Для элементарной операции нужно от одного до нескольких десятков тактов.
Слайд 36

Скорость работы компьютера Факты влияющие на скорость Тактовая частота Реализация алгоритма

Скорость работы компьютера

Факты влияющие на скорость
Тактовая частота
Реализация алгоритма
Количество тактов на операцию
Наличие

конвейеров
Медленная работа с памятью
Наличие кэша
Параллелизация алгоритма
Слайд 37

Время работы Таким образом получается значение в районе 300 секунд на шаг алгоритма

Время работы

Таким образом получается значение в районе 300 секунд на шаг

алгоритма
Слайд 38

Решение дифракционного уравнения Предположим, что импульс имеет осевую симметрию, т.е. E(t,

Решение дифракционного уравнения

Предположим, что импульс имеет осевую симметрию, т.е. E(t, r,

z), G(ω, r, z), где

тогда Gt,r займет в памяти компьютера 1024 x 1024 ячеек, а процесс вычисления займет
C x 1024 x 1024 x log (1024)

Слайд 39

Решение дифракционного уравнения Сетка по r не обязана быть равномерной!

Решение дифракционного уравнения



Сетка по r не обязана быть равномерной!

Слайд 40

Решение дифракционного уравнения схема Кранка-Николсона .

Решение дифракционного уравнения

схема Кранка-Николсона

.

Слайд 41

Схема Кранка-Николсона

Схема Кранка-Николсона

Слайд 42

Содержание Описание световых волн. Уравнения для электромагнитных волн. Линейный режим взаимодействия

Содержание

Описание световых волн. Уравнения для электромагнитных волн.
Линейный режим взаимодействия

света с веществом.
Нормировка динамических уравнений.
Решение уравнений методом расщепления.
Решение уравнений с учётом дифракции.
Описание нелинейного режима взаимодействия света с веществом.
Слайд 43

Материальные уравнения В самом общем виде линейная поляризация зависит от прошлых

Материальные уравнения

В самом общем виде линейная поляризация зависит от прошлых значений

поля в данной точке (если отклик среды локальный)

PNL уже не является малым по отношению к PL

Слайд 44

Решение нелинейного уравнения Для вычисления производной можно использовать БПФ, а можно

Решение нелинейного уравнения

Для вычисления производной можно использовать БПФ, а можно центральную

разность
Для шага по z может также использоваться схема Кранка-Николсона, однако так как уравнение нелинейное, необходимы внутренние итерации
- Предыдущая
Interaction of electromagnetic field with bioobjects. Application of lasers in biology and medicine
Следующая -
Элементы специальной теории относительности. Релятивистская динамика

Похожие презентации

Вводное повторение.Геометрия 8 класс
По Щучьему велению на новый лад
Сумма
Презентация на тему Логарифмы и их свойства
Сфера и шар
Подготовка к ОГЭ. Задания по геометрии. Занятие 7
Особливості роботи з типами
Парадоксы теории множеств. (Лекция 9)
Формирование навыков письменного сложения и вычитания
Равенство треугольников. Второй признак равенства треугольников
Признаки подобия треугольников
Таблица умножения и деления на 6
Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда
Введення поняття кілограм
Экспериментальные данные. Характеристики выборки и генеральной совокупности. (Лекция 1)
Презентация по математике "Состав чисел от 1 до 10" - скачать бесплатно
Угол между прямыми в пространстве
Задачи. (2 класс)
Обобщающий урок по теме «Уравнения»
Треугольник. 8 классе
Применение нескольких способов разложения многочленов на множители
Производные и интегралы функций общего вида
Метод поиска в глубину. (Лекция 5)
Обратная пропорциональность
Конструирование системы заданий для организации продуктивной деятельности учащихся на уроке математики
Задачи на доказательство № 25 из ОГЭ (геометрия)
Introduction to Statistics
Решение уравнений tgx=a. Понятие арктангенса числа
Вы можете прислать нам Вашу презентацию и мы опубликуем ее на сайте.
Обратная связь
Для правообладателей
Email: Нажмите что бы посмотреть