Численные методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений

Июль 27, 2022

Главная
Математика
Численные методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений

Содержание

2. ЭТАПЫ ПРИБЛИЖЕННОГО ПОИСКА КОРНЕЙ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ отделение корня уточнение корня Отделение корня - это определение промежутка,
3. ГРАФИЧЕСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ
4. ШАГОВОСТЬ И ПОРЯДОК СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ Скорость сходимости процесса Метод является n-шаговым, если для построения итерационной последовательности
5. МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ Пусть действительный корень х0 уравнения f(x) = 0 отделен и функция f(x) непрерывна
6. МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЕЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ f(x) = 0 (2) - непрерывная произвольная знакопостоянная функция.
7. ТИПОВЫЕ СЛУЧАИ УСТОЙЧИВОЙ И НЕУСТОЙЧИВОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
8. КЛАССИЧЕСКИЙ ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ
9. МЕТОД НЬЮТОНА приближенное значение корня (4) ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МЕТОДА НЬЮТОНА метод Ньютона имеет вблизи корня второй
10. Преимущества: квадратичная сходимость, возможность обобщения на случай систем уравнений, метод является одношаговым. ПРЕИМУЩЕСТВА И НЕДОСТАТКИ МЕТОДА
11. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА Модифицированный метод – это вариант метода Ньютона с постоянным значением производной. При этом
12. МЕТОД СЕКУЩИХ (МЕТОД ХОРД) Идея: замена производной конечной разностью – что приводит к замене касательной в
13. МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ f(x) = 0 (1) - вектор-столбец неизвестных, -
14. МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Итерационный процесс Начальное приближение для корня Формула расчета
15. СХОДИМОСТЬ МЕТОДА ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ Достаточное условие сходимости итераций МАТРИЦА ЯКОБИ ФУНКЦИЙ Система принимает
16. МЕТОД ИТЕРАЦИЙ ЗЕЙДЕЛЯ МЕТОД НЬЮТОНА Приближенное значение корня Условие сходимости
17. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА Модифицированный метод – это вариант метода Ньютона с постоянным значением производной. Метод Ньютона
19. Скачать презентацию

Слайд 2

ЭТАПЫ ПРИБЛИЖЕННОГО ПОИСКА КОРНЕЙ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
отделение корня
уточнение корня
Отделение корня -

это определение промежутка, содержащего один и только один корень уравнения.
Одна из точек этого промежутка принимается за начальное приближение корня.

Слайд 3

ГРАФИЧЕСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ

Слайд 4

ШАГОВОСТЬ И ПОРЯДОК СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ
Скорость сходимости процесса
Метод является n-шаговым, если

для построения итерационной последовательности нужно вычислить функцию в n точках.

Шаговость процесса

Слайд 5

МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ
Пусть действительный корень х0 уравнения f(x) = 0 отделен

и функция f(x) непрерывна на интервале [a, b] отделения корня.
Будем делить отрезок пополам и оставлять ту его часть, где выполняется условие теоремы (1).

Алгоритм
Ввод а,b, e
i=1
Если (b-a)Если , то a=xi, иначе b=xi.
i=i+1
Переход на п. 3
Вывод xi.

Слайд 6

МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЕЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
f(x) = 0 (2)
- непрерывная

произвольная знакопостоянная функция.

Итерационный процесс

k = 0, 1, 2, …,

Графическая интерпретация метода простой итерации

Достаточное условие сходимости итераций

Слайд 7

ТИПОВЫЕ СЛУЧАИ УСТОЙЧИВОЙ И НЕУСТОЙЧИВОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ

Слайд 8

КЛАССИЧЕСКИЙ ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ

Слайд 9

МЕТОД НЬЮТОНА
приближенное значение корня
(4)
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МЕТОДА НЬЮТОНА
метод Ньютона
имеет вблизи корня второй

порядок сходимости.
является одношаговым.

Слайд 10

Преимущества:
квадратичная сходимость,
возможность обобщения на случай систем уравнений,
метод является

одношаговым.

ПРЕИМУЩЕСТВА И НЕДОСТАТКИ МЕТОДА НЬЮТОНА

Недостатки:

Расходится в тех областях,
где

2) если функция f(x) задана таблично,
то вычисление затруднено

Пути устранения:

Метод секущих

Модифицированный метод Ньютона

Слайд 11

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА
Модифицированный метод – это вариант метода Ньютона с

постоянным значением производной. При этом значение производной вычисляется только в начальной точке и далее для всех итераций значения производных полагаются постоянными, равными

Графическая интерпретация модифицированного метода Ньютона

Метод Ньютона с постоянным значением производной имеет лишь первый порядок сходимости

Слайд 12

МЕТОД СЕКУЩИХ (МЕТОД ХОРД)
Идея: замена производной конечной разностью –
что

приводит к замене касательной в точке секущей, проведенной через две точки кривой y = f(x) (линейная аппроксимация).

Графическая интерпретация
метода секущих

Порядок сходимости метода секущих

где

Слайд 13

МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
f(x) = 0 (1)
-

вектор-столбец неизвестных,

- вектор-столбец функций

или

(3)

Слайд 14

МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Итерационный процесс
Начальное приближение для

корня

Формула расчета значения на (k+1) итерации

или

Вектор погрешности испытывает линейное преобразование, (метод имеет первый порядок сходимости)

Слайд 15

СХОДИМОСТЬ МЕТОДА ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
Достаточное условие сходимости итераций
МАТРИЦА ЯКОБИ

ФУНКЦИЙ

Система принимает вид:

Слайд 16

МЕТОД ИТЕРАЦИЙ ЗЕЙДЕЛЯ
МЕТОД НЬЮТОНА
Приближенное значение корня
Условие сходимости

Слайд 17

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА
Модифицированный метод – это вариант метода Ньютона с

постоянным значением производной.

Метод Ньютона с постоянным значением производной имеет первый порядок сходимости:

Численные методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений

Содержание

ЭТАПЫ ПРИБЛИЖЕННОГО ПОИСКА КОРНЕЙ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯотделение корня уточнение корняОтделение корня -

ГРАФИЧЕСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ

ШАГОВОСТЬ И ПОРЯДОК СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ Скорость сходимости процессаМетод является n-шаговым, если

МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯПусть действительный корень х0 уравнения f(x) = 0 отделен

МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЕЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙf(x) = 0 (2)- непрерывная

ТИПОВЫЕ СЛУЧАИ УСТОЙЧИВОЙ И НЕУСТОЙЧИВОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ

КЛАССИЧЕСКИЙ ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ

МЕТОД НЬЮТОНАприближенное значение корня(4)ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МЕТОДА НЬЮТОНАметод Ньютонаимеет вблизи корня второй

Преимущества: квадратичная сходимость, возможность обобщения на случай систем уравнений, метод является

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА Модифицированный метод – это вариант метода Ньютона с

МЕТОД СЕКУЩИХ (МЕТОД ХОРД) Идея: замена производной конечной разностью – что

МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙf(x) = 0 (1)-

МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙИтерационный процессНачальное приближение для

СХОДИМОСТЬ МЕТОДА ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯДостаточное условие сходимости итерацийМАТРИЦА ЯКОБИ

МЕТОД ИТЕРАЦИЙ ЗЕЙДЕЛЯ МЕТОД НЬЮТОНАПриближенное значение корняУсловие сходимости

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА Модифицированный метод – это вариант метода Ньютона с

Похожие презентации

ЭТАПЫ ПРИБЛИЖЕННОГО ПОИСКА КОРНЕЙ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
отделение корня
уточнение корня
Отделение корня -

ШАГОВОСТЬ И ПОРЯДОК СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ
Скорость сходимости процесса
Метод является n-шаговым, если

МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ
Пусть действительный корень х0 уравнения f(x) = 0 отделен

МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЕЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
f(x) = 0 (2)
- непрерывная

МЕТОД НЬЮТОНА
приближенное значение корня
(4)
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МЕТОДА НЬЮТОНА
метод Ньютона
имеет вблизи корня второй

Преимущества:
квадратичная сходимость,
возможность обобщения на случай систем уравнений,
метод является

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА
Модифицированный метод – это вариант метода Ньютона с

МЕТОД СЕКУЩИХ (МЕТОД ХОРД)
Идея: замена производной конечной разностью –
что

МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
f(x) = 0 (1)
-

МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Итерационный процесс
Начальное приближение для

СХОДИМОСТЬ МЕТОДА ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
Достаточное условие сходимости итераций
МАТРИЦА ЯКОБИ

МЕТОД ИТЕРАЦИЙ ЗЕЙДЕЛЯ
МЕТОД НЬЮТОНА
Приближенное значение корня
Условие сходимости

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА
Модифицированный метод – это вариант метода Ньютона с