5.Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Август 31, 2022

Главная
Математика
5.Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Содержание

2. Теорема: Для того чтобы дифференцировать выражение , где и определены и непрерывны в области плоскости и
3. Интегрирующий множитель.
4. Если , то уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Однако это уравнение можно превратить в
5. Практически поступают так: берут выражение , делят на , если не зависит частное от , то
6. 6.Дополнительные сведения.
7. Дифференциальное уравнение может быть также истолковано следующим образом. Пусть - общее решение дифференциального уравнения, т.е. семейство
8. Рисунок 5 . Т.е. дифференциальное уравнение определяет совокупность направлений, или поле направлений в области .Изображая стрелкой
9. Геометрически задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, которые в каждой своей точке касаются направления,
10. Теорема (Коши). Если функция определена и непрерывна в области плоскости и имеет непрерывную частную производную во
11. 7. Уравнение первого порядка, не разрешенные относительно производной.
12. Рассмотрим дифференциальное уравнение , не разрешенное относительно .
13. Случай 1. Уравнение первого порядка n-й степени , где n-целое положительное число, , - функции от
14. Получили :
15. Общие интегралы имеют вид:
16. Случай 2. Уравнение разрешенное относительно у и не содержащее х . Это уравнение решается методом введения
17. Пусть , тогда .
18. Случай 3. Уравнение разрешенное относительно х и не содержащее у: . Аналогично: ,
19. Случай 4. . Уравнения не содержащие х и у, но не обязательно разрешенные относительно у и
20. Случай 5. Уравнение Лагранжа. Уравнение, линейно относительно x и y , т.е. имеющее вид
21. 1-й случай . Его общий интеграл имеет вид , вместе с уравнением он дает общий интеграл
22. 2-й случай .
24. Скачать презентацию

Слайд 2

Теорема:
Для того чтобы дифференцировать выражение , где и определены

и непрерывны в области плоскости и имеют в ней непрерывные частные производные и ,представляла собой полный дифференциал некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области было выполнено условие .

Слайд 3

Интегрирующий множитель.

Слайд 4

Если , то уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Однако

это уравнение можно превратить в уравнения в полных дифференциалах умножением на подходящую функцию . Такая функция называется интегрирующим множителем для данного дифференциального уравнения.

Слайд 5

Практически поступают так: берут выражение , делят на , если не

зависит частное от , то находят по формуле , если в противном случае делят на и если частное не зависит от x , то существует и его находят по формуле

Слайд 6

6.Дополнительные сведения.

Слайд 7

Дифференциальное уравнение может быть также истолковано следующим образом.
Пусть - общее решение

дифференциального уравнения, т.е. семейство интегрирующих кривых в некоторой области , плоскости , в которой определена функция . Дифференциальное уравнение устанавливает связь между координатами любой точки области и значением производной в этой точке. Зная и точки , можно найти значение производной, т.е. угловой коэффициент касательной к интегрирующей кривой, проходящую через точку .

Слайд 8

Рисунок 5
. Т.е. дифференциальное уравнение определяет совокупность направлений, или поле

направлений в области .Изображая стрелкой направление, можно построить поле направлений дифференциального уравнения .

Слайд 9

Геометрически задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, которые в

каждой своей точке касаются направления, задаваемым полем .

Слайд 10

Теорема (Коши).
Если функция определена и непрерывна в области плоскости и

имеет непрерывную частную производную во всех точках этой области, то, какова бы ни была точка области , всегда существует и притом единственная, функция , которая определена и непрерывна в некотором интервале, содержащим точку , является решением уравнения и принимает при значение .

Слайд 11