Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Июль 27, 2022

Главная
Математика
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Содержание

2. Уравнение связывающее неизвестную функцию y(x), независимую переменную x и производные неизвестной функции, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
3. Рассмотрим задачу Коши для ОДУ первого порядка Метод Эйлера Требуется найти функцию, которая удовлетворяет уравнению (3)
4. Найдем приближенные значения решение y(x) в точках Рассмотрим уравнение (3) в точках Заменим производную разностной формулой
5. Найдем приближенное решение по методу Эйлера Метод Эйлера с уточнением уточним решение по формуле (6) (7)
6. Вычисление приближенного значения в следующей точке производится по формулам Метод Рунге-Кутты (8) Рассмотрим задачу Коши
7. (10) Для оценки правильности выбора шага h используют дробь (9) Оценку погрешности можно получить с помощью
8. Производные определяются последовательным дифференцированием уравнения (12)
9. Пусть дано уравнение Метод Пикара (метод последовательных приближений) правая часть которого в прямоугольнике непрерывна и имеет
10. Уравнение (3) заменили интегральным уравнением (13), которое удовлетворяет начальному условию (4) Заменим в равенстве (13) функцию
11. Решение у(х) получают как предел последовательности функций уn(х), которые находят по рекуррентной формуле (14) Если функция
13. Скачать презентацию

Слайд 2

Уравнение
связывающее неизвестную функцию y(x), независимую переменную x и производные неизвестной функции,

называется обыкновенным дифференциальным уравнением. n – порядок дифференциального уравнения. В задаче Коши для дифференциального уравнения n-го порядка искомая функция , кроме самого дифференциального уравнения должна удовлетворять начальным условиям

(1)

(2)

Слайд 3

Рассмотрим задачу Коши для ОДУ первого порядка
Метод Эйлера
Требуется найти функцию, которая

удовлетворяет уравнению (3) на интервале (x0, X) и начальному условию (4). Разобьем отрезок [x0, X] на n частей

(3)

(4)

Слайд 4

Найдем приближенные значения решение y(x) в точках Рассмотрим уравнение (3) в точках

Заменим производную разностной формулой Получим рекуррентную формулу

(5)

Слайд 5

Найдем приближенное решение по методу Эйлера
Метод Эйлера с уточнением
уточним решение по

формуле

(6)

(7)

Слайд 6

Вычисление приближенного значения в следующей точке производится по формулам
Метод Рунге-Кутты
(8)
Рассмотрим

задачу Коши

Слайд 7

(10)
Для оценки правильности выбора шага h используют дробь
(9)
Оценку погрешности можно получить

с помощью двойного просчета

(11)

Слайд 8

Производные определяются последовательным дифференцированием уравнения
(12)

Слайд 9

Пусть дано уравнение
Метод Пикара (метод последовательных приближений)
правая часть которого в прямоугольнике непрерывна

и имеет непрерывную частную производную по y. Требуется найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию (4). Интегрируя обе части уравнения от x0 до x получим

Слайд 10

Уравнение (3) заменили интегральным уравнением (13), которое удовлетворяет начальному условию (4) Заменим

в равенстве (13) функцию у значением y0. Получим первое приближение

(13)

Затем в уравнении (13) заменяем у найденным значением значением y1 и получаем второе приближение

Слайд 11

Решение у(х) получают как предел последовательности функций уn(х), которые находят по

рекуррентной формуле

(14)

Если функция f(x,y) непрерывна в прямоугольнике R, то оценка приближенного решения yn(x) на отрезке [x0, x0+h] определяется неравенством где

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Содержание

Уравнениесвязывающее неизвестную функцию y(x), независимую переменную x и производные неизвестной функции,

Рассмотрим задачу Коши для ОДУ первого порядкаМетод ЭйлераТребуется найти функцию, которая

Найдем приближенные значения решение y(x) в точках Рассмотрим уравнение (3) в точках

Найдем приближенное решение по методу ЭйлераМетод Эйлера с уточнениемуточним решение по

Вычисление приближенного значения в следующей точке производится по формуламМетод Рунге-Кутты(8)Рассмотрим

(10)Для оценки правильности выбора шага h используют дробь(9)Оценку погрешности можно получить

Производные определяются последовательным дифференцированием уравнения(12)

Пусть дано уравнениеМетод Пикара (метод последовательных приближений)правая часть которого в прямоугольнике непрерывна