Лекция 04. О термине Геометрия

Август 10, 2022

Главная
Математика
Лекция 04. О термине Геометрия

Содержание

2. Термин «Геометрия» используется в значении наука; метод (область); теория, описывающая некоторые пространства.
3. Термин «Геометрия» используется в значении наука; ☞ Геометрия есть наука, изучающая свойства фигур, не меняющиеся при
4. Термин «Геометрия» используется в значении наука; метод (область); ☞ синтетическая геометрия; ☞ аналитическая геометрия; ☞ дифференциальная
5. Термин «Геометрия» используется в значении наука; метод (область); теория, описывающая некоторые пространства ☞ евклидова геометрия; ☞
6. Можно одно и то же пространство описывать разными способами. Например, в евклидовой геометрии применяются: синтетическая геометрия
7. Примеры (семейство евклидовых геометрий)
8. Евклидова плоскость Простирается неограниченно.
9. Евклидова плоскость Простирается неограниченно. Вводим на ней расстояние, и получаем двумерное многообразие точек.
10. Евклидова плоскость Простирается неограниченно. Вводим на ней расстояние, и получаем двумерное многообразие точек. Также вводим группу
11. Евклидова плоскость Простирается неограниченно. Вводим на ней расстояние, и получаем двумерное многообразие точек. Также вводим группу
12. Евклидова геометрия изучает фигуры «с точностью до изометрий». Она содержит, например, довольно богатое семейство треугольников (зависящее
13. Евклидова геометрия изучает фигуры «с точностью до изометрий». Она содержит, например, довольно богатое семейство треугольников (зависящее
14. Аффинная плоскость Состоит из тех же точек, что и евклидова.
15. Аффинная плоскость Состоит из тех же точек, что и евклидова. Допускается более широкая группа преобразований –
16. Аффинная плоскость Состоит из тех же точек, что и евклидова. Допускается более широкая группа преобразований –
17. Аффинная плоскость Состоит из тех же точек, что и евклидова. Допускается более широкая группа преобразований –
18. Проективная плоскость Евклидова плоскость дополняется бесконечно удаленными точками и прямой.
19. Проективная плоскость Есклидова плоскость дополняется бесконечно удаленными точками и прямой. Проективное преобразование (коллинеация) – взаимно-однозначное отображение
20. Дополнение плоскости бесконечно удалёнными элементами Пусть параллельные прямые а и а1 пересекаются в бесконечно удалённой точке.
21. Дополнение плоскости бесконечно удалёнными элементами Пусть параллельные прямые а и а1 пересекаются в бесконечно удалённой точке.
22. Дополнение плоскости бесконечно удалёнными элементами Пусть параллельные прямые а и а1 пересекаются в бесконечно удалённой точке.
23. Дополнение плоскости бесконечно удалёнными элементами Пусть параллельные прямые а и а1 пересекаются в бесконечно удалённой точке.
24. Таким образом, евклидова плоскость пополняется бесконечным числом бесконечно удалённых точек.
25. Таким образом, евклидова плоскость пополняется бесконечным числом бесконечно удалённых точек. Совокупность всех этих бесконечно удалённых точек
26. Таким образом, евклидова плоскость пополняется бесконечным числом бесконечно удалённых точек. Совокупность всех этих бесконечно удалённых точек
28. Скачать презентацию

Слайд 2

Термин «Геометрия» используется в значении
наука;
метод (область);
теория, описывающая некоторые пространства.

Слайд 3

Термин «Геометрия» используется в значении
наука;
☞ Геометрия есть наука, изучающая свойства

фигур, не меняющиеся при преобразованиях некоторой группы преобразований
метод (область);
теория, описывающая некоторые пространства.

Слайд 4

Термин «Геометрия» используется в значении
наука;
метод (область);
☞ синтетическая геометрия;
☞

аналитическая геометрия;
☞ дифференциальная геометрия.
теория, описывающая некоторые пространства.

Слайд 5

Термин «Геометрия» используется в значении
наука;
метод (область);
теория, описывающая некоторые пространства

☞ евклидова геометрия;
☞ аффинная геометрия;
☞ проективная геометрия
☞ конформная геометрия;
☞ геометрия Лобачевского;
☞ Риманова геометрия.

Слайд 6

Можно одно и то же пространство описывать разными способами.
Например, в евклидовой

геометрии применяются:
синтетическая геометрия (используются свойства фигур);
аналитическая геометрия (средствами алгебры на основе метода координат);
векторный метод (используются аксиоматика Вейля и векторная алгебра).

Слайд 7

Примеры
(семейство
евклидовых геометрий)

Слайд 8

Евклидова плоскость
Простирается неограниченно.

Слайд 9

Евклидова плоскость
Простирается неограниченно.
Вводим на ней расстояние, и получаем двумерное многообразие

точек.

Слайд 10

Евклидова плоскость
Простирается неограниченно.
Вводим на ней расстояние, и получаем двумерное многообразие

точек.
Также вводим группу изометрий – взаимно однозначных отображений плоскости на себя, сохраняющих расстояние.

Слайд 11

Евклидова плоскость
Простирается неограниченно.
Вводим на ней расстояние, и получаем двумерное многообразие

точек.
Также вводим группу изометрий – взаимно однозначных отображений плоскости на себя, сохраняющих расстояние.
Эта группа состоит из ✔ параллельных переносов; ✔ поворотов относительно любой точки; ✔ скользящих симметрий (это симметрия относительно прямой и последующий параллельный перенос вдоль этой прямой).

Слайд 12

Евклидова геометрия изучает фигуры «с точностью до изометрий».
Она содержит, например, довольно богатое семейство

треугольников (зависящее от трех параметров),
двухпараметрическое семейство эллипсов
и т.п.

Слайд 13

Евклидова геометрия изучает фигуры «с точностью до изометрий».
Она содержит, например, довольно богатое семейство

треугольников (зависящее от трех параметров),
двухпараметрическое семейство эллипсов
и т.п.
Конгруэнтность – отношение эквивалентности на множестве геометрических фигур.

Слайд 14

Аффинная плоскость
Состоит из тех же точек, что и евклидова.

Слайд 15

Аффинная плоскость
Состоит из тех же точек, что и евклидова.
Допускается более широкая

группа преобразований – аффинных.

Слайд 16

Аффинная плоскость
Состоит из тех же точек, что и евклидова.
Допускается более широкая

группа преобразований – аффинных.
Кроме изометрий содержит растяжения вдоль любых направлений.

Слайд 17

Аффинная плоскость
Состоит из тех же точек, что и евклидова.
Допускается более широкая

группа преобразований – аффинных.
Кроме изометрий содержит растяжения вдоль любых направлений.
Аффинную группу можно определить иначе: это такие взаимно однозначные преобразования плоскости, которые прямые переводят в прямые.
Например, с аффинной точки зрения все треугольники равноправны.

Слайд 18

Проективная плоскость
Евклидова плоскость дополняется бесконечно удаленными точками и прямой.

Слайд 19

Проективная плоскость
Есклидова плоскость дополняется бесконечно удаленными точками и прямой.
Проективное преобразование

(коллинеация) –
взаимно-однозначное отображение проективной плоскости в себя, при котором точки, лежащие на прямой, переходят в точки, также лежащие на прямой.

Слайд 20

Дополнение плоскости бесконечно удалёнными элементами
Пусть параллельные прямые а и а1 пересекаются

в бесконечно удалённой точке.

Слайд 21

Дополнение плоскости бесконечно удалёнными элементами
Пусть параллельные прямые а и а1 пересекаются

в бесконечно удалённой точке.
То есть, эта точка не является обыкновенной, а представляет собой новый объект – бесконечно удалённую (несобственную) точку прямой а.

Слайд 22

Дополнение плоскости бесконечно удалёнными элементами
Пусть параллельные прямые а и а1 пересекаются

в бесконечно удалённой точке.
То есть, эта точка не является обыкновенной, а представляет собой новый объект – бесконечно удалённую (несобственную) точку прямой а.
Все прямые, параллельные прямой а, имеют одну общую бесконечно удалённую точку А.

Слайд 23

Дополнение плоскости бесконечно удалёнными элементами
Пусть параллельные прямые а и а1 пересекаются

Слайд 24

Таким образом, евклидова плоскость пополняется бесконечным числом бесконечно удалённых точек.

Слайд 25

Таким образом, евклидова плоскость пополняется бесконечным числом бесконечно удалённых точек.
Совокупность всех

этих бесконечно удалённых точек плоскости π называется бесконечно удалённой (несобственной) прямой.

Слайд 26

Таким образом, евклидова плоскость пополняется бесконечным числом бесконечно удалённых точек.
Совокупность всех

этих бесконечно удалённых точек плоскости π называется бесконечно удалённой (несобственной) прямой.
Плоскость π, дополненная таким образом бесконечно удалёнными точками и бесконечно удалённой прямой является проективной плоскостью.

Лекция 04. О термине Геометрия

Содержание

Термин «Геометрия» используется в значении наука; метод (область); теория, описывающая некоторые пространства.

Термин «Геометрия» используется в значении наука; ☞ Геометрия есть наука, изучающая свойства

Термин «Геометрия» используется в значении наука; метод (область); ☞ синтетическая геометрия; ☞

Термин «Геометрия» используется в значении наука; метод (область); теория, описывающая некоторые пространства

Можно одно и то же пространство описывать разными способами.Например, в евклидовой

Примеры(семействоевклидовых геометрий)

Евклидова плоскостьПростирается неограниченно.

Евклидова плоскостьПростирается неограниченно. Вводим на ней расстояние, и получаем двумерное многообразие

Евклидова плоскостьПростирается неограниченно. Вводим на ней расстояние, и получаем двумерное многообразие

Евклидова плоскостьПростирается неограниченно. Вводим на ней расстояние, и получаем двумерное многообразие

Евклидова геометрия изучает фигуры «с точностью до изометрий».Она содержит, например, довольно богатое семейство

Евклидова геометрия изучает фигуры «с точностью до изометрий».Она содержит, например, довольно богатое семейство

Аффинная плоскостьСостоит из тех же точек, что и евклидова.

Аффинная плоскостьСостоит из тех же точек, что и евклидова.Допускается более широкая

Аффинная плоскостьСостоит из тех же точек, что и евклидова.Допускается более широкая

Аффинная плоскостьСостоит из тех же точек, что и евклидова.Допускается более широкая

Проективная плоскостьЕвклидова плоскость дополняется бесконечно удаленными точками и прямой.

Проективная плоскостьЕсклидова плоскость дополняется бесконечно удаленными точками и прямой. Проективное преобразование

Дополнение плоскости бесконечно удалёнными элементами Пусть параллельные прямые а и а1 пересекаются

Дополнение плоскости бесконечно удалёнными элементами Пусть параллельные прямые а и а1 пересекаются

Дополнение плоскости бесконечно удалёнными элементами Пусть параллельные прямые а и а1 пересекаются

Дополнение плоскости бесконечно удалёнными элементами Пусть параллельные прямые а и а1 пересекаются

Таким образом, евклидова плоскость пополняется бесконечным числом бесконечно удалённых точек.

Таким образом, евклидова плоскость пополняется бесконечным числом бесконечно удалённых точек.Совокупность всех

Таким образом, евклидова плоскость пополняется бесконечным числом бесконечно удалённых точек.Совокупность всех

Похожие презентации

Термин «Геометрия» используется в значении
наука;
метод (область);
теория, описывающая некоторые пространства.

Термин «Геометрия» используется в значении
наука;
☞ Геометрия есть наука, изучающая свойства

Термин «Геометрия» используется в значении
наука;
метод (область);
☞ синтетическая геометрия;
☞

Термин «Геометрия» используется в значении
наука;
метод (область);
теория, описывающая некоторые пространства

Можно одно и то же пространство описывать разными способами.
Например, в евклидовой

Примеры
(семейство
евклидовых геометрий)

Евклидова плоскость
Простирается неограниченно.

Евклидова плоскость
Простирается неограниченно.
Вводим на ней расстояние, и получаем двумерное многообразие

Евклидова плоскость
Простирается неограниченно.
Вводим на ней расстояние, и получаем двумерное многообразие

Евклидова плоскость
Простирается неограниченно.
Вводим на ней расстояние, и получаем двумерное многообразие

Евклидова геометрия изучает фигуры «с точностью до изометрий».
Она содержит, например, довольно богатое семейство

Евклидова геометрия изучает фигуры «с точностью до изометрий».
Она содержит, например, довольно богатое семейство

Аффинная плоскость
Состоит из тех же точек, что и евклидова.

Аффинная плоскость
Состоит из тех же точек, что и евклидова.
Допускается более широкая

Аффинная плоскость
Состоит из тех же точек, что и евклидова.
Допускается более широкая

Аффинная плоскость
Состоит из тех же точек, что и евклидова.
Допускается более широкая

Проективная плоскость
Евклидова плоскость дополняется бесконечно удаленными точками и прямой.

Проективная плоскость
Есклидова плоскость дополняется бесконечно удаленными точками и прямой.
Проективное преобразование

Дополнение плоскости бесконечно удалёнными элементами
Пусть параллельные прямые а и а1 пересекаются

Дополнение плоскости бесконечно удалёнными элементами
Пусть параллельные прямые а и а1 пересекаются

Дополнение плоскости бесконечно удалёнными элементами
Пусть параллельные прямые а и а1 пересекаются

Дополнение плоскости бесконечно удалёнными элементами
Пусть параллельные прямые а и а1 пересекаются

Таким образом, евклидова плоскость пополняется бесконечным числом бесконечно удалённых точек.
Совокупность всех

Таким образом, евклидова плоскость пополняется бесконечным числом бесконечно удалённых точек.
Совокупность всех