Дифференциал функции. Исследование функции с помощью производной

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Дифференциал функции. Исследование функции с помощью производной

Содержание

2. Рассмотрим функцию Найдем Дифференциал функции
3. Приращение функции можно рассматривать как сумму двух слагаемых: - линейное относительно - нелинейное относительно
4. При оба слагаемых стремятся к нулю, но второе слагаемое быстрее стремится к нулю. Поэтому при малых
5. Теорема. Если функция имеет в точке дифференциал, то она имеет в этой точке производную и наоборот,
6. Примеры. Найти дифференциалы функций 1) 2)
7. Теорема. Если функция дифференцируема в точке то она в этой точке непрерывна. Связь между дифференцируемостью и
8. Пример. В точке функция непрерывна, так как
9. Справа от нуля поэтому Слева от нуля поэтому
10. Таким образом, отношение при справа и слева имеет различные пределы, а это значит, что при это
11. Схема исследования функции 1) Найти область определения функции 2) Исследовать функцию на четность и нечетность 3)
12. 4) Найти асимптоты кривой 5) Исследовать функцию по знаку первой производной , т.е. найти интервалы возрастания,
13. 6) Исследовать функцию по знаку второй производной , т.е. найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба 7)
14. Пример. Исследовать функцию и построить график: 1) Область определения:
15. 2) Чётность, нечётность. четная, если нечетная, если функция нечетная, следовательно график функции симметричен относительно начала координат.
16. 3) Точки пересечения с осями координат 4) Асимптоты – это прямые, к которым стремится график функции
17. Асимптоты бывают: a) вертикальные. Они параллельны оси Уравнение вертикальной асимптоты b) наклонные. Уравнение где
18. c) если то и наклонная асимптота становится горизонтальной, т.е. параллельной оси Найдем асимптоты кривой Т.к. то
19. Аналогично, - вертикальная асимптота. Заметим, что кривая может иметь сколько угодно вертикальных асимптот. Пример. Вертикальные асимптоты
20. Найдем наклонную асимптоту
22. - наклонная асимптота.
23. Найдем
24. - точка максимума. - точка минимума. + - + -
25. Можно было не рассматривать т.е. функция нечетная и достаточно построить график только для а затем отобразить
26. Найдем
28. не существует (разрыв) при + - + -
29. Если то функция вогнута. Если то функция выпукла. + + -
30. Точки, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба. 7) Для построения графика
31. + - - - - + + Точка перегиба Вертикальная асимптота min
32. Строим график Отмечаем асимптоты, точки max, min, точки пересечения с осями, точки перегиба
33. Для строим график, используя нечетность функции.
35. Скачать презентацию

Слайд 2

Рассмотрим функцию Найдем
Дифференциал функции

Слайд 3

Приращение функции можно рассматривать как сумму двух слагаемых:
- линейное относительно
-

нелинейное относительно

Слайд 4

При оба слагаемых стремятся к нулю, но второе слагаемое быстрее стремится

к нулю. Поэтому при малых считают, что (т.е. считают, что приближенно равно линейной части). Эту часть называют главной частью приращения функции или дифференциалом.

Дифференциал функции обозначают

Слайд 5

Теорема. Если функция имеет в точке дифференциал, то она имеет в

этой точке производную и наоборот, если функция имеет в точке производную, то она имеет в этой точке дифференциал.

Выражение для дифференциала записывается в форме

Слайд 6

Примеры.
Найти дифференциалы функций
1)
2)

Слайд 7

Теорема. Если функция дифференцируема в точке то она в этой точке

непрерывна.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Обратная теорема неверна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми.

Слайд 8

Пример.
В точке функция непрерывна, так как

Слайд 9

Справа от нуля поэтому
Слева от нуля поэтому

Слайд 10

Таким образом, отношение при справа и слева имеет различные пределы, а

это значит, что при это отношение предела не имеет, т.е. производная в точке не существует.

Слайд 11

Схема исследования функции
1) Найти область определения функции
2) Исследовать функцию на четность

и нечетность

3) Найти точки пересечения с осями координат

Слайд 12

4) Найти асимптоты кривой
5) Исследовать функцию по знаку первой производной ,

т.е. найти интервалы возрастания, убывания, точки экстремума

Слайд 13

6) Исследовать функцию по знаку второй производной , т.е. найти интервалы

выпуклости, вогнутости, точки перегиба

7) Построить график. Для построения графика можно все результаты исследования свести в таблицу.

Слайд 14

Пример. Исследовать функцию и построить график:
1) Область определения:

Слайд 15

2) Чётность, нечётность.
четная, если
нечетная, если
функция нечетная, следовательно график функции симметричен относительно

начала координат.

Слайд 16

3) Точки пересечения с осями координат
4) Асимптоты – это прямые, к

которым стремится график функции при неограниченном удалении от начала координат.

Слайд 17

Асимптоты бывают:
a) вертикальные. Они параллельны оси
Уравнение вертикальной асимптоты
b) наклонные. Уравнение
где

Слайд 18

c) если то и наклонная асимптота становится горизонтальной, т.е. параллельной оси

Найдем асимптоты кривой

Т.к.

то - вертикальная асимптота.

Слайд 19

Аналогично,
- вертикальная асимптота.
Заметим, что кривая может иметь сколько угодно вертикальных асимптот.
Пример.

Вертикальные асимптоты

где

Слайд 20

Найдем наклонную асимптоту

Слайд 21

Слайд 22

- наклонная асимптота.

Слайд 23

Найдем

Слайд 24

- точка максимума.
- точка минимума.
+
-
+
-

Слайд 25

Можно было не рассматривать т.е. функция нечетная и достаточно построить график

только для а затем отобразить график симметрично относительно начала координат.

Слайд 26

Найдем

Слайд 27

Слайд 28

не существует (разрыв) при
+
-
+
-

Слайд 29

Если то функция вогнута.
Если то функция выпукла.
+
+
-

Слайд 30

Точки, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называются точками

перегиба.

7) Для построения графика сделаем сводную таблицу. Т.к. функция нечетная, то будем рассматривать только

- точка перегиба.

Слайд 31

+
-
-
-
-
+
+
Точка перегиба
Вертикальная асимптота
min

Слайд 32

Строим график
Отмечаем асимптоты, точки max, min, точки пересечения с осями, точки

перегиба

Слайд 33

Для строим график, используя нечетность функции.