Дифференциал функции

Л Ф У Н К Ц И И

Определение
Дифференциалом функции у = f (x) в точке х0 называется главная часть приращения этой функции в точке х0 и обозначается d f(x0 )

Дифференциал независимой переменной х равен приращению ∆х:

Пусть функция у = f (x) имеет в точке х0 отличную от нуля производную:

По основной теореме о пределах, в окрестности точки х0 имеет место равенство:

– функция, бесконечно малая при

Следовательно,

– главная часть приращения функции

Итак,

Следовательно,

А Л Ф У Н К Ц И И

Дана функция

Найти df в точке х0=0

Пример 2

Дана функция

Найти df

Решение:

Решение:

Н Ц И А Л Ф У Н К Ц И И

x

Дифференциал функции y = f (x) в точке х0 равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда аргумент получает приращение

К графику функции у = f (x) проведем касательную в точке х0

B

A

M

И А Л Ф У Н К Ц И И

инвариантность формы 1-го дифференциала

5. Пусть

– сложная функция, тогда

Итак,

Л Ф У Н К Ц И И

Решение:

4. Применение дифференциала к приближенным
вычислениям

Приращение функции

Абсолютная погрешность при замене

на

равна

бесконечно малая более высокого порядка, чем

при

Вычислить

Рассмотрим функцию

Пусть

тогда

Задача сводится к нахождению

Итак,

Л Ф У Н К Ц И И

Определение
Вторым дифференциалом d 2f функции у = f (x) называют дифференциал от первого дифференциала d f, рассматриваемого как функция от х (dx считаем константой).

 Итак, d 2f=f ΄΄(x)∙dx2.

5. Дифференциалы высших порядков

Пусть у = f (x), x – независимая переменная,
d f = f΄(x)∙dx – дифференциал (первый дифференциал).

Таким образом,

 Аналогично определяются третий и выше дифференциалы: 

Итак, d nf=f (n)(x)∙dxn

d 2f= d (d f)

= d (f ΄(x)∙dx)

= dx∙d (f ΄(x))

= dx∙f ΄΄(x)∙dx = f ΄΄(x)∙(dx)2.

   d 3f=f (3)(x)∙dx3, d 4f=f (4)(x)∙dx4