- Главная
- Математика
- Дифференциал функции
Содержание
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А
Определение
Дифференциалом функции у = f (x) в точке х0 называется главная часть приращения этой функции в точке х0 и обозначается d f(x0 )
Дифференциал независимой переменной х равен приращению ∆х:
Пусть функция у = f (x) имеет в точке х0 отличную от нуля производную:
По основной теореме о пределах, в окрестности точки х0 имеет место равенство:
– функция, бесконечно малая при
Следовательно,
– главная часть приращения функции
Итак,
Следовательно,
Пример 1
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И
Пример 1
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И
Дана функция
Найти df в точке х0=0
Пример 2
Дана функция
Найти df
Решение:
Решение:
2. Геометрический смысл дифференциала функции
Д И Ф Ф Е Р Е
2. Геометрический смысл дифференциала функции
Д И Ф Ф Е Р Е
x
Дифференциал функции y = f (x) в точке х0 равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда аргумент получает приращение
К графику функции у = f (x) проведем касательную в точке х0
B
A
M
3. Свойства дифференциала
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц
3. Свойства дифференциала
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц
инвариантность формы 1-го дифференциала
5. Пусть
– сложная функция, тогда
Итак,
Пример
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А
Пример
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А
Решение:
4. Применение дифференциала к приближенным
вычислениям
Приращение функции
Абсолютная погрешность при замене
на
равна
бесконечно малая более высокого порядка, чем
при
Вычислить
Рассмотрим функцию
Пусть
тогда
Задача сводится к нахождению
Итак,
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А
Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А
Определение
Вторым дифференциалом d 2f функции у = f (x) называют дифференциал от первого дифференциала d f, рассматриваемого как функция от х (dx считаем константой).
Итак, d 2f=f ΄΄(x)∙dx2.
5. Дифференциалы высших порядков
Пусть у = f (x), x – независимая переменная,
d f = f΄(x)∙dx – дифференциал (первый дифференциал).
Таким образом,
Аналогично определяются третий и выше дифференциалы:
Итак, d nf=f (n)(x)∙dxn
d 2f= d (d f)
= d (f ΄(x)∙dx)
= dx∙d (f ΄(x))
= dx∙f ΄΄(x)∙dx = f ΄΄(x)∙(dx)2.
d 3f=f (3)(x)∙dx3, d 4f=f (4)(x)∙dx4