Применение дифференциала для приближенных вычислений. (Лекция 2)

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Применение дифференциала для приближенных вычислений. (Лекция 2)

Содержание

2. Применение дифференциала для приближенных вычислений. Из определения производной функции: Можно записать: , или . Величина -
3. Пример: вычислить без таблицы Sin29 ͦ Sin29 ͦ=Sin(30 ͦ-1 ͦ), поэтому примем x=30 ͦ, а Δx=-1
4. Частные производные функций
5. Частные и полный дифференциал функции
6. Задача: найдите абсолютную погрешность в определении объема цилиндра, если при измерениях были получены радиуса r= (6±0,1)
7. Интегральное исчисление. Первообразная функция. Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если
8. Неопределенный интеграл. Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) +
10. Свойства: где u, v, w – некоторые функции от х. Пример:
11. Методы интегрирования А) Непосредственное интегрирование.
12. Б) Способ подстановки (замены переменных).
13. В) Интегрирование по частям.
14. Пример. Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному
16. Определенный интеграл Пусть на отрезке [ab] задана непрерывная функция y=f(x)
17. Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x)
18. Свойства определенного интеграла. 4. Если f(x) ≤ ϕ(x) на отрезке [a, b] a
19. 5.Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b],
20. 8. Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство: Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница) Если функция
21. Пример.
22. Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.
23. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
26. Скачать презентацию

Слайд 2

Применение дифференциала для приближенных вычислений.
Из определения производной функции:
Можно записать: ,
или .
Величина

- бесконечно малая более высокого порядка, чем f’(x)Δx, т.е. f'(x)Δx- главная часть приращения у. Отбрасывая вторую часть в этой формуле, можем написать: Δy=f’(x)Δx или f(x+Δx)-f(x)=f’(x)Δx; отсюда можем вычислить значение функции в точке x+Δx: f(x+Δx)=f(x)+f’(x)Δx; если f(х) и f’(x) можно легко вычислить в точке x.

αΔx

Слайд 3

Пример: вычислить без таблицы Sin29 ͦ
Sin29 ͦ=Sin(30 ͦ-1 ͦ), поэтому примем

x=30 ͦ, а Δx=-1 ͦ.
Sin29 ͦ=Sin30 ͦ+Cos30 ͦ(-0,017)=0,485.
1 ͦ=3,14/180=0,017
Sin’x=Cosx
Вычислите без таблицы lg101.

Слайд 4

Частные производные функций

Слайд 5

Частные и полный дифференциал функции

Слайд 6

Задача: найдите абсолютную погрешность в определении объема цилиндра, если при измерениях

были получены радиуса r= (6±0,1) см и высоты h=(10±0,2) cм.

Слайд 7

Интегральное исчисление.
Первообразная функция.
Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке

[a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:
F′(x) = f(x).
Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

Слайд 8

Неопределенный интеграл.
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые

определены соотношением:
F(x) + C.

Записывают:

Слайд 9

Слайд 10

Свойства:
где u, v, w – некоторые функции от х.
Пример:

Слайд 11

Методы интегрирования
А) Непосредственное интегрирование.

Слайд 12

Б) Способ подстановки (замены переменных).

Слайд 13

В) Интегрирование по частям.

Слайд 14

Пример.
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию

не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

Слайд 15

Слайд 16

Определенный интеграл
Пусть на отрезке [ab] задана непрерывная функция y=f(x)

Слайд 17

Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется

интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].
Sn = f(ε1)Δx1 + f(ε2)Δx2 + … + f(εn)Δxn =

Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку ε.
x0 < ε1 < x1, x1 < ε2 < x2, … , xn-1 < εn < xn.

Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxΔxi→ 0 и произвольном выборе точек εi интегральная сумма

стремится к пределу S, который называется опреде-
ленным интегралом от f(x) на отрезке [a, b]:

Слайд 18

Свойства определенного интеграла.
4. Если f(x) ≤ ϕ(x) на отрезке [a, b]

a < b, то

Слайд 19

5.Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции

f(x) на отрезке [a, b], то:

6. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка ε такая, что

Слайд 20

8. Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:
Теорема: (Теорема Ньютона

– Лейбница) Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

Слайд 21

Пример.

Слайд 22

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
y = x, y =

x2, x = 2.

Слайд 23

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Слайд 24

Применение дифференциала для приближенных вычислений. (Лекция 2)

Содержание

Применение дифференциала для приближенных вычислений.Из определения производной функции:Можно записать: ,или .Величина

Пример: вычислить без таблицы Sin29 ͦSin29 ͦ=Sin(30 ͦ-1 ͦ), поэтому примем

Частные производные функций

Частные и полный дифференциал функции

Задача: найдите абсолютную погрешность в определении объема цилиндра, если при измерениях

Интегральное исчисление.Первообразная функция.Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке

Неопределенный интеграл.Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые

Свойства:где u, v, w – некоторые функции от х.Пример:

Методы интегрированияА) Непосредственное интегрирование.