Дифференциал функции

Пусть y = f(x) определена и непрерывна в точке

Если полное приращение

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции

Для того, чтобы функция была дифференцируемой
необходимо

Достаточность.

По условию существует производная
Тогда и
Приращение функции записано в таком виде,

Геометрический смысл дифференциала.
Применение дифференциала:
В приближенных вычислениях

0

х

y

l

dy

Дифференциал функции численно равен
приращению ординаты

Свойства дифференциала.
Пусть функции
дифференцируемые.
Тогда:
1.
2.
3.
4. Инвариантность формы дифференциала.
Пусть функция дифференцируемая;
Функция дифференцируемая.
Тогда

Форма дифференциала функции
не

Таблица дифференциалов основных элементарных функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

11.
12.
13.
14.

Функции двух переменных

Функцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре

Данную функцию обозначают следующим образом: Z = f(x; y)
Поскольку упорядоченная пара значений

Область определения

Областью определения функции двух переменных называется множество всех пар (x;y),

Пример

Найти область определения функции
Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
и

Построение области определения

Строим прямую x + y - 1 = 0

Строим полученную область определения на плоскости:

Пример

Найти область определения функции
Решение:
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
или

Изобразим область определения на чертеже:

Имеем дело с областями , ограниченными линиями.

Линия, ограничивающая данную область, называется

Если же к области относятся и точки границы, то область называется

Геометрическое изображение функции двух переменных.

Графиком функции z = f(x; y) является

Пример

Построить самостоятельно:

Плоскость: z = 1 – x
Полусфера:

Ограниченность функции двух переменных

Функция z = f(x;y) называется ограниченной в области

Частные приращения функции двух переменных

Частным приращением по x функции z =

Частным приращением по y функции
z = f(x; y) в точке

Полное приращение функции z = f(x;y)

Полным приращением функции z = f(x;y)

Геометрический смысл частных и полного приращений функции двух переменных

Непрерывность функции в точке.

Функция называется непрерывной в точке , если
1). функция

Второе определение непрерывности функции z =f(x; y) в точке

Пусть функция

Частные производные функции двух переменных z = f (x; y)

Частной производной

Пример

Найти частные производные:
(y = const)
(x = const)

Пример

Найти частные производные:
(y = const)
(x = const)

Геометрический смысл частных производных

Пусть . Это плоскость, параллельная координатной плоскости Oxz.

Аналогично,

Пусть . Это плоскость, параллельная координатной плоскости Oyz. В пересечении с

Физический смысл частных производных

Частная производная - это скорость изменения z относительно

Или: функция называется дифференцируемой в точке, если

ее полное приращение можно

Полный дифференциал:

Что представляют собой A и B ?

Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных функции двух переменных

Если функция

Доказательство

Дадим приращение величине x, а y оставляем постоянным ,
Тогда ,

Теорема

Если в точке (x; y) частные производные
существуют и непрерывны, то в

Теорема. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке.

Если функция z

Частные производные высших порядков

Частными производными второго порядка функции z = f

Теорема

Пусть функция z = f(x; y) в некоторой окрестности точки (x;

Пример

Найти частные производные второго порядка

Геометрическое изображение точек экстремума:

Пример ,