Дифференциальные уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. (Лекция 17)

(1)

(все три переменные x, y, F - действительны).

Определение. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).

Пример: y + x=0 - уравнение четвёртого порядка.

y(4)–

Определение. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция
удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.

ex

y(4)

y(4)

ex

ex

ex

Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.

Определение. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение

(2)

(3)

и получать общее решение в форме

(4)

Любое решение (2) относительно y (для набора постоянных C1, C2, …, Cn из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1);
Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn.

решённой относительно неизвестной функции.

(5)

где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция. В форме, разрешённой относительно производной, уравнение первого порядка записывается так:

(6)

Если пользоваться другим обозначением производной, то можно записать (6) как

(7)

Общее решение (общий интеграл) уравнения при n = 1 имеет вид или .

Говорят, что уравнение (6) задаёт в D поле направлений.

График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем.

Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля.

Решение можно провести через любую точку области D; единственное решение можно выделить, если задать точку, через которую проходит интегральная кривая

Для изображения поля направлений, задаваемого дифференциальным уравнением, рассматривают линии уровня функции f(x, y), т.е. геометрические места точек, в которых касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами. С помощью изоклин можно приближённо изобразить интегральные кривые

и т.д.

Информация о направлении интегральных кривых, полученная из рисунка (выше справа), достаточна, чтобы сделать качественный вывод об их поведении: кривые должны огибать начало координат. Это могут быть окружности или спирали (когда мы научимся решать дифференциальные уравнения, мы легко установим, что это окружности; две такие окружности изображены пунктиром).

(8)

удовлетворяющее начальному условию

y(x0) = y0

(9)

начальное условие (9) часто записывают в форме

x0

Мы примем эту теорему без доказательства. На самом деле для существования решения в окрестности точки достаточно только непрерывности функции f(x, y); условие непрерывности обеспечивает единственность этого решения.

x 0

f(x) dx + g(y) dy = 0.

(10)

Пусть y(x) - решение этого уравнения, т.е.
Интегрируя это тождество, получим
- общий интеграл (общее решение) этого уравнения.

f(x)dx + g(y(x))dy(x) = 0

Пример:

Решить задачу Коши

x0 и y0

(x-1)2 + y3 = C

(2-1)2 + 13 = 2

C = 2

Таким образом, решение поставленной задачи

(x-1)2 + y3 = 2.

(12)

Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:

затем делим на g(y) и умножаем на

dx

Уравнение (12) делим на :

f2(x)

g1(y)

g1(y)

Эти уравнения - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общие интегралы:

y1, y2, y3, …,

то функции

y = y1, y = y2, y = y3, …,

очевидно, являются решениями исходного уравнения.

Если функция имеет действительные

f2(x)

корни

x1, x2, x3, …,

функция имеет

g1(y)

действительные корни

y1, y2, y3, …,

то функции

x = x1, x = x2, x = x3, …, y = y1,

y = y2, y = y3, …

являются решениями

исходного уравнения.

В обоих случаях эти решения могут содержаться в общем решении, но могут и не содержаться в нём; последнее может случиться, если на этих решениях нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

ln|C1|:

Вернёмся к обозначению постоянной интегрирования C; общее решение содержит частное решение y = 1 при C = 0.

Далее,

Общий интеграл уравнения

y2 = C(x2 – 1) + 1

Частные решения содержатся в общем интеграле при C = 0, решения утеряны (понятно, почему это произошло:

если записать уравнение

в форме, решённой относительно производной

то, очевидно, на решениях нарушаются условия, налагаемые теоремой Коши на правую часть уравнения).

Мы должны найти ещё частное решение, удовлетворяющее начальному условию

y(1) = 5

Подстановка значений в общий интеграл даёт 25=1, т.е. общий интеграл этого частного решения не содержит.

x = 1, y = 5

Решение x = 1 удовлетворяет начальному условию, это и есть решение задачи Коши.

К уравнениям с разделяющимися переменными сводятся уравнения вида

(

- постоянные).

Если перейти к новой неизвестной функции , то и уравнение представляется как .

z = ax + by + c,

Это - уравнение с разделяющимися переменными.

f(x, y)

(13)

Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции u(x) заменой , или .

Подставляя в (13) , получим (это - уравнение с разделяющимися переменными),
- это общий интеграл уравнения относительно переменных x, u.

y = x·u

y ′ = u + x·u

Функция f(x, y) называется однородной функцией своих аргументов степени m, если для любого t выполняется тождество
Так, - однородная функция степени 3, - однородная функция нулевой степени. Если M(x, y), N(x, y) - однородные функции одной степени, то уравнение
может быть приведено к виду

f(tx, ty) = tm f(x, y)

x3 – 3xy2 + 4y3

ln x – ln y

M(x, y)dx +N(x, y)dy = 0

Решаем уравнение относительно производной:

делим числитель и

знаменатель правой части на :

x2

- это уравнении с однородной правой

частью.

Это общий интеграл уравнения. Утерянные решения: x = 0, y = x (u = 1); решение y = 0 (получаемое из u = 0) содержится в общем решении при C = 0.

Утерянные решения:

Ответ:

(

);

(14)

Здесь p(x), q(x) - непрерывные функции

Для решения уравнения (14) представим y(x) в виде произведения двух новых неизвестных функций

u(x) и v(x): y(x) = u(x) v(x).

Тогда , и уравнение приводится к виду
или

затем находим u(x) из уравнения

;

Итак,
(мы не вводим в это решение произвольную постоянную C, нам достаточно найти одну функцию v(x), обнуляющую слагаемое со скобками в уравнении ).

Теперь уравнение для u(x) запишется как

Общее решение уравнения (14):

Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям задачи Коши, подставим в общее решение

Уравнение (14) называется однородным, если q(x) = 0.

Пусть дано неоднородное уравнение (14) .

Оно, как и в предыдущем случае, решается в два этапа.

Обнулим правую часть, получившееся уравнение будем называть однородным уравнением, соответствующим уравнению (14):

Теперь ищем общее решение уравнения (14) в виде ,

где -

- новая неизвестная функция; находим производную

и подставляем в (14) y и :

или

где .

Теперь

Пример:

(x + y2)dy = ydx.

Если представить его в виде

то относительно функции x = x(y) оно линейно.

Решаем его методом вариации произвольной постоянной.

Соответствующее однородное уравнение: