Элементарная теория устойчивости динамических систем

ДС задана автономными уравнениями

в которых правые части fi - в общем случае нелинейные дифференцируемые функции, зависящие от параметров μι, или в векторной форме

(1)

(2)

Будем считать, что система (1) не обладает какими-либо специальными свойствами симметрии, являясь системой общего положения.
Пусть x0(t) – частное решение системы, устойчивость которого нужно исследовать. Введем в рассмотрение переменные yi(t), характеризующие малое отклонение от частного решения:
yi(t) = xi(t) – x0i(t). (3)

решения xi = xi0. Совокупность нелинейных относительно yi членов O(yi) стремится к нулю с уменьшением возмущений yi быстрее суммы линейных слагаемых.
Устойчивость частного решения нелинейной системы x0(t) определяется устойчивостью линеаризованной системы (4):

- уравнения в вариациях

В матричной форме:

A(t) – квадратная матрица с элементами

(5)

решений Y(t), составленная из N линейно независимых решений системы (5), удовлетворяет матричному уравнению

Произвольное решение системы (5) может быть записано в виде
y(t)=Y(t)y(t0), (6)
если Y(t) нормирована при t = t0 , т.е. Y(t0) = E.
Автономная линейная система (5) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда любое решение (6) ограничено. Следовательно, коэффициенты фундаментальной матрицы Y(t) устойчивой системы должны быть ограничены.

или просто характеристический показатель функции Φ(t), - действительное число, определяемое соотношением

Для экспоненты Φ(t) = exp αt, L = α.
Понятие характеристического показателя дает способ оценки степени роста функции в сравнении с экспонентой.
Для линейной системы (5) с произвольной матрицей A(t) характеристические показатели нетривиальных решений можно ввести аналогичным образом:

где yi(t) – i-е фундаментальное решение системы (5), || 0 || - норма. По определению характеристические показатели действительны, а т.к. матрица A(t) ограничена, то и конечны. Числа λi называются обобщенными характеристическими показателями произвольной линейной системы вида (5).

(7)

x0(t) нелинейной системы (2), совокупность λi называют ляпуновскими характеристическими показателями частного решения (или фазовой траектории) x0(t) нелинейной системы. Упорядоченная по убыванию совокупность чисел λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥ λN образует спектр ляпуновских характеристических показателей (спектр ЛХП) фазовой траектории x0(t), являющейся одной из важнейших характеристик решения нелинейной системы, определяющей, в частности, ее устойчивость.
Для линейной автономной ДС сумма характеристических показателей спектра ее решений не меньше верхнего предела от среднего значения следа матрицы:

Характер изменения фазового объема во времени подчиняется формуле Остроградского – Лиувилля

где V(t) = det Y(t) - фазовый объем

вариациях выражение (8) принимает вид

Таким образом, дивергенция в линейном приближении совпадает со значением следа матрицы A(t). Локально вблизи частного решения фазовый объем системы во времени изменяется в соответствии с выражением

где чертой обозначено усреднение по времени.

спектра ЛХП траектории x0(t) характеризует скорость изменения фазового объема в ее окрестности. Для систем с отрицательной дивергенцией, т.е. диссипативных, сумма показателей спектра ЛХП отрицательна. Предельный объем аттрактора в фазовом пространстве нулевой.

не зависит от времени, то правые части (1) обращаются в нуль:
fi(x01, x02, . . . , x0N, μ) = 0. (9)
Корни алгебраических уравнений (9) определяют координаты возможных состояний равновесия, отвечающих особым точкам в фазовом пространстве системы. В особой точке матрица A системы в вариациях от времени не зависит и общее решение системы имеет вид
y(t) = exp (At)y(t0). (10)
Решение устойчиво по Ляпунова, если собственные числа матрицы линеаризации, определяемые корнями векового уравнения
det [A – sE] = 0, (11)
характеризуются действительными частями Re si ≤ 0.

y(t) асимптотически устойчиво. Это означает, что произвольные малые возмущения положения равновесия x0 затухают и при t → ∞ асимптотически стремятся к нулю.
Условие Re si ≠ 0 выделяет случай грубых состояний равновесия, которые либо устойчивы, либо неустойчивы в некоторой конечной области вариации параметров μ.

(1) выделяется условием
x0(t) ≡ x0(t+T), T – период решения. (12)
Устойчивость периодического решения определяется исследованием соответ-ствующей системы в вариациях, которая также является периодической:

A(t) ≡ A(t + T). (13)

Нетрудно убедиться в том, что если Y(t) – нормированная фундаментальная матрица решений системы (13), то матрица Y(t+T) также является фундамен-тальной и справедливо соотношение
Y(t+T)=Y(t)Y(T). (14)
Матрица Y(T) называется матрицей или оператором монодромии. Решение уравнений в вариациях в силу (14) определяет линейное отображение, ставя-щее в соответствие произвольному значению возмущения y(t) значение воз-мущения y(t+T) через период:
y(t+T)=Y(T)y(t). (15)

Y(T), т.е. корни характеристического уравнения
det [Y(T) - ρE] = 0, (16)
называются мультипликаторами периодического решения x0(t) и определяют его устойчивость. Действительно, действие оператора монодромии (14) заключается в том, что первоначальное возмущение периодического решения, рассматриваемое в проекциях на собственные векторы, через период T умножается на соответствующий мультипликатор ρi . Значит, затуханию возмущений должно отвечать требование |ρi| < 1.
Любому мультипликатору ρi соответствует нетривиальное решение ξ(t+T) = ρiξ(t) системы (13), и наоборот, выполнение указанного равенства служит определением мультипликатора. Отсюда следует важный вывод: периодическое решение x0(t) имеет по крайней мере один из мультипликаторов, равный +1.

решения определяется в соответствии с (7) через мультипликаторы
λi = ln |ρi|/T.
Один из показателей спектра всегда равен нулю и отвечает единичному мультипликатору. Если все оставшиеся на комплексной плоскости значений мультипликаторы принадлежат внутренности единичного круга, т.е. |ρi| < 1, i = 1, 2, …, N – 1, то периодическое решение устойчиво. Сигнатура спектра ЛХП устойчивого предельного цикла такова:
“0”, “-”, “-”, …, “-”.

(2) до N ≥ 3 становятся возможными решения x0(t) в виде квазипериодических или апериодических (хаотических) автоколебаний. Соответствующая система уравнений в вариациях в этих случаях характеризуется квазипериодической или апериодической матрицей A(t). Исследование устойчивости таких частных решений в отличие от стационарных и периодических становится более сложным и осуществляется, как правило, с помощью численных методов на компьютерах.
Пусть частное решение x0(t) есть квазипериодическая функция:
x0(t) = x0 [ϕ1(t), ϕ2(t), …, ϕp(t)], (17)
где ϕl(t)= ωl t, l = 1, 2, …, p . Функция x0(ϕ) имеет период 2π по каждому из аргументов ϕl:
x0(ϕl + 2π) ≡ x0(ϕl ).

общем случае не являются периодическими. Если между частотами ωl не существует рациональных соотношений, то решение x0(t) называется эргодическим квазипериодическим колебанием.
Устойчивость квазипериодических решений характеризуется спектром ЛХП. Матрица линеаризации A(t) уравнений в вариациях квазипериодическая, и ляпуновские характеристические показатели λi строго определены лишь в пределе, при t → ∞. На практике можно ограничиться конечным временем, зависящим в каждом конкретном случае от скорости сходимости функций λi (t) к пределам λi , и получить значения показателей спектра ЛХП с некоторой заданной точностью. Периодичность решения x0(t) по каждой их функций ϕl(t) ведет к тому, что спектр ЛХП квазипериодического колебания содержит p нулевых показателей.

можно представить как
x(t) = B0(1 + m sin Ωt) sin (ω0t + ψ),
где ω0 – частота основного колебания, Ω - частота сигнала модуляции, рационально несоизмеримая с ω0. Устойчивому режиму биений с двумя независимыми частотами отвечает аттрактор в виде двумерного эргодического тора, сигнатура спектра ЛХП которого имеет вид
“0”, “0”, “-”, “-”, …, “-”.
Если частное решение x0(t) является апериодическим, но ограниченным для любых t → ∞, то оно отвечает режиму хаотических автоколебаний. В спектре ЛХП такого решения появляется не менее одного положительного показателя и существует по крайней мере один нулевой. Реализуется ситуация, принципиально отличная от всех выше рассмотренных случаев. Наличие положительных показателей в спектре ЛХП апериодического решения свидетельствует, по определению, о неустойчивости решения по Ляпунову. В каком же смысле можно говорить об устойчивости хаотического решения? Вопрос нетривиальный, но может иметь вполне определенный ответ.

с некоторой областью притяжения, внутри которого траектории неустойчивы по Ляпунову, но устойчивы по Пуассону.
Матрица линеаризации A(t) системы уравнений в вариациях относительно хаотического решения x0(t) будет апериодической, но ограниченной. Поэтому предел в (7) существует при t → ∞ и определяет спектр ЛХП решения. Сигнатура спектра ЛХП странного аттрактора наиболее простой структуры имеет вид
“+”, “0”, “-”, “-”, …, “-”.
Проведенный анализ позволяет ввести классификацию типов аттрактора, основанную на понятиях устойчивости по Ляпунову и по Пуассону.
Если фазовые траектории на аттракторе устойчивы и по Ляпунову и по Пуассону – аттрактор регулярный, или простой.
Если устойчивые по Пуассону траектории в аттракторе неустойчивы по Ляпунову, то аттрактор странный.

решений дифференциальных систем может быть поставлен и решен аналогичным образом для систем с дискретным временем. Эти системы могут рассматриваться как самостоятельные при описании, к примеру, экологических процессов, а могут быть получены однозначно из дифференциальных систем при переходе к точечным отображениям Пуанкаре.
Рассмотрим некоторый режим движения дифференциальной системы, характеризующийся траекторией Γ в фазовом пространстве RN уравнений (2). В последнем введем в рассмотрение некоторую гиперповерхность S размерности N – 1. Предположим, что фазовая траектория Γ последовательно и трансверсально (под ненулевым углом) пересекает эту поверхность. Поверхность S называется секущей Пуанкаре к фазовой траектории Γ.

равна размерности секущей Пуанкаре. Нелинейной ДС (1) тем самым ставится в однозначное соответствие N – 1-мерное фазовое пространство, которым является секущая гиперповерхность S. Фазовыми траекториями становятся последовательности точек x(k) на секущей. Каждая последующая точка x(k +1) получается путем применения нелинейного преобразования P к предыдущей точке x(k):
x(k +1) = P [x(k), μ] (18)
(μ - набор параметров), которое в координатной форме имеет вид
xi(k +1) = Pi [xi(k), μ1, …, μm], i= 1, 2, …, (N – 1). (19)

Точечное отображение, порождаемое пересечениями некоторой фазовой траектории Γ с секущей поверхностью S

этом структура ДС однозначно (но не взаимно однозначно) определяет структуру порождаемого ею точечного отображения.
Нелинейное уравнение (18) является дискретным аналогом дифференциальной системы, но может также рассматриваться вне зависимости от порождающей дифференциальной системы.
В дискретных системах также могут существовать стационарные, периодические, квазипериодические и хаотические последовательности x0(k).
Устойчивость частного решения x0(k) исследуется на основе соответствующего уравнения в вариациях. Если ввести в рассмотрение малое отклонение (возмущение) y(k) = x(k) - x0(k), записать его в координатной форме
yi(k) = xi(k) – xi0(k), i= 1, 2, …, (N – 1) , (20)
и линеаризовать исходное уравнение (18) вблизи частного решения, то получим линейное дискретное уравнение в вариациях

(21)

квадратная матрица линеаризации, элементы которой mij заданы соответствующими производными (21). Из (22) следует

(23)

Ляпуновские характеристические показатели частного решения дискретной системы (21) имеют вид:

(24)

где yi(k) – i-е фундаментальное решение системы уравнений (22).

, x0N-1, не зависящих от дискретного времени и удовлетворяющих исходному нелинейному уравнению (19), называется неподвижной точкой x0 дискретной системы отображения или ее стационарным решением. Матрица линеаризации уравнений в вариациях также не зависит от k. Устойчивость стационарного решения определяется собственными значениями матрицы M:
det(M - ρE) = 0, (25)
т.е. мультипликаторами неподвижной точки ρi. Стационарное решение асимптотически устойчиво, когда все мультипликаторы по модулю строго меньше единицы. Соответствующий спектр ЛХП аттрактора системы в виде устойчивого состояния равновесия определяется упорядоченной по убыванию совокупностью λi :
λi = ln |ρi | < 0. (26)

n – период. (27)
В этом случае x0(k) – n-периодическое решение дискретной системы или n-цикл отображения. Матрица линеаризации также n-периодическая, т.е. M(k) ≡ M(k + n).
Аналогом матрицы монодромии в данном случае является матрица Mn , не зависящая от дискретного времени:
Mn = M(n) · M(n – 1) · . . . · M(1). (28)
Для периодических решений дискретное время можно измерять целым числом периодов k = rn, что позволяет записать

(29)

ρnE) = 0. (30)
Они определяют устойчивость n-периодического решения.
Спектр ЛХП n-периодического решения состоит из
λi = ln |ρni|/n. (31)
Асимптотически устойчивому n-циклу отображения отвечают мультипликаторы |ρni| < 1 для любых i = 1, 2, . . . , N – 1. Спектр ЛХП устойчивого n-цикла содержит, таким образом, только отрицательные числа.
Если дискретное уравнение (18) представляет собой отображение Пуанкаре некоторой дифференциальной системы, то стационарная точка отображения отвечает простому однооборотному предельному циклу в этой системе. Наличие n-периодической точки в отображении соответствует n-тактному, более сложному предельному циклу дифференциальной системы. В отличие от потоковых систем в отображениях стационарные и периодические решения характеризуются в общем случае n-циклом (n = 1, 2, 3, . . . ).