Элементы теории вероятностей. Цели и задачи

при реализации данного комплекса условий может произойти или не произойти.

Различают достоверное, невозможное и случайное события.

Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В называют суммой событий. А+В

Событие, состоящее в наступлении обоих событий А или В называют произведением событий. А*В

Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятных исходов, к числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов.

способов расстановки на полке 6 разных книг?

Пример:

учетом порядка следования полное число разных выборок будет определять формула

-число размещений без повторений.

Пример:

Сколько трехзначных чисел (без повторений) можно составить из чисел 1,2,3,4,5.

их следования по условию задачи не имеет значения, то исползуют формуле для числа сочетаний:

Пример:

Сколько комбинаций из трех монет можно собрать, имея пять разных монет:

-без учета порядка в комбинации

-с учетом порядка в комбинации

очков.

Общее число элементарных исходов n=6 (могут выпасть 1,2,3,4,5,6). Благоприятных исходов 4, соответственно, искомая вероятность:

Пример:

В урне имеются 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность извлечь синий шар?

шара. Какова вероятность того, что оба шара белые?

Пример:

этих событий:

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

Для независимых событий

Теоремы сложения и умножения вероятностей

шаров. Извлекли один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар красный, белый или черный?

Имеем n=10+15+20+25=70.
P(K)=25/70=5/14.
2) Применив теорему сложения вероятностей, получим:
P(Б+Ч)=P(Б)+P(Ч)=1/7+3/14=5/14.

Пример:

В первом ящике имеются 2 белых и 10 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика извлекли по шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?

События А и В - независимые. Речь идет о совмещении событий. Необходимо применить теорему умножения вероятностей: Р(А*В)=Р(А)*Р(В)=2/3 * 8/12=1/6 * 2/3=1/9.

извлекли два шара ( не возвращая извлеченный шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.

Пусть событие А-появление белого шара при первом извлечении. В-при втором. По теореме умножения вероятностей в случае зависимых событий:

Р(А)=6/(6+8)=3/7,
Р(B/А)=(6-1)/(6+8-1)=5/13.
Р(AB)= 3/7 * 5/13=15/91.

(события Нi называются гипотезами). Тогда вероятность любого события A может быть вычислена по формуле:

Отметим свойство:

р2=0,35 и р3=0,40. Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов для этих партий, равны соответственно 0,1, 0,2 и 0,3. Определить вероятность того, что случайно взятая лампа проработает заданное число часов.

Введем обозначения:
А-лампа проработает заданное число часов.
Н1, Н2, Н3 -лампа принадлежит соответственно первой, второй или третьей партии. По условию задачи: Р(Н1)=р1, Р(Н2)=р2, Р(Н3)=р3

Тогда, Р(А)= Р(Н1)Р(А/Н1)+ Р(Н2)Р(А/Н2)+ Р(Н3)Р(А/Н3)=
=0,25*0,1+0,35*0,2+0,40*0,3=0,215

— некоторое событие положительной вероятности. Тогда условная вероятность того, что имело место событие Нk, если в результате эксперимента наблюдалось событие A, может быть вычислена по формуле:

мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок — с вероятностью 0,00001. Можно сделать два предположения об эксперименте:
Н1 = {стреляет 1-й стрелок}
Н2 = { стреляет 2-й стрелок } .
Вероятности этих гипотез одинаковы: P(Н1) = P(Н2) = 1/2.
Рассмотрим событие A = {пуля попала в мишень}. Известно, что
P(A\Н1) = 1, P(A\Н2) = 0,00001

Поэтому вероятность пуле попасть в мишень P(A) = 1/2*1 + 1/2*0,00001. . Предположим, что событие A произошло. Какова теперь вероятность каждой из гипотез Нi? Очевидно, что первая из этих гипотез много вероятнее второй (а именно, в 100000 раз). Действительно,

Пример:

белах шаров, во втором – 10 белых и 10 черных шара, в третьем 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика извлекли белый шар. Вычислить вероятность того, что этот шар извлечен из первого ящика.

Пусть Н1 , Н2 , Н3 – гипотезы, состоящие в выборе соответственно первого второго и третьего ящика, событие А – появление белого шара. Тогда P(Н1) = P(Н2) = P(Н3) =1/3 (выбор любого ящика равновозможен).
P(A\Н1) = 1 (вероятность извлечения белого шара из первого ящика); P(A\Н2) = 10/20=1/2 (вероятность извлечения белого шара из второго ящика); P(A\Н3) = 0 (вероятность извлечения белого шара из третьего ящика). Тогда искомая вероятность :

результат испытания не зависит от номера испытания и от того, что произошло до этого испытания.
Однородными испытаниями считаем такие, которые проводятся в одинаковых условиях.
Пусть в каждом испытании событие А может произойти с вероятностью р

равна 0,9.
Найти вероятность того, что из 7 образцов 5 выдержат испытания.
Решение.
По формуле Бернулли

n→∞ )
Вероятность р события А – мала ( р→0 )
Причем
Тогда при любом фиксированном к

Закон редких событий

Определить вероятность того, что в партии из 200 плиток оказалось поврежденными:
а) ровно 4 плитки; б) не более 6 плиток.
Решение.
Вероятность того, что плитка окажется поврежденной,
р=0.025 – мала, число испытаний n=200 –велико, причем np=5<10.
По формуле Пуассона:
а) б)

р события А – не очень мала ( 0<<р<<1 )
(р не близко к 0 и к 1)
Тогда при любом фиксированном к

р события А – не очень мала ( 0<<р<<1 )
(р не близко к 0 и к 1)
Тогда вероятность того, что событие А наступит
не менее к-раз и не более m-раз,
приближенно равна

вероятность того, что из 100 труб 75 будет первого сорта.
Решение.
n =100 – велико, р=0,8 –не близко к 0 и к 1.
По локальной теореме Муавра –Лапласа:

100 выстрелов.
Норматив считается выполненным, если цель будет поражена не менее 75 раз.
Определить вероятность выполнения норматива.
Решение.
По интегральной теореме Муавра-Лапласа: