Фалес Милетский VI век до н. э. Теорема Фалеса

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Фалес Милетский VI век до н. э. Теорема Фалеса

Содержание

2. Теорема Фалеса Теорема. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки,
3. Теорема о пропорциональных отрезках Теорема. (О пропорциональных отрезках.) Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон
4. Свойство биссектрисы треугольника Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, т.е. если
5. Обратное свойство Если луч, проведенный из вершины угла треугольника, делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам
6. Упражнение 1 Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A, C и
7. Упражнение 2 Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A, C и
8. Упражнение 3 Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A, C и
9. Упражнение 4 Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A, B и
10. Упражнение 5 Определите, пропорциональны ли пары отрезков а, b и c, d, если: а) a =
11. Упражнение 6 Среди отрезков a, b, c, d, e выберите пары пропорциональных отрезков, если а =
12. Упражнение 7 Даны три отрезка: а, b, и с. Какова должна быть длина четвертого отрезка d,
13. Упражнение 8 На одной из сторон угла расположены два отрезка 3 см и 4 см. Через
14. Упражнение 9 Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A1, A2 и
15. Упражнение 10 В треугольнике АВС сторона ВС разделена на четыре равные части и через полученные точки
16. Упражнение 11 Основания трапеции равны 14 см и 20 см. Одна из боковых сторон разделена на
17. Упражнение 12 На медиане CC1 треугольника ABC взята точка M, CM:MC1 = 3:1. Через нее проведена
18. Упражнение 13 В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и CC1, которые пересекаются в точке M. Найдите
19. Упражнение 14 На продолжении стороны AC треугольника ABC взята точка K, AC = CK. Через нее
20. Упражнение 15 На продолжении стороны AC треугольника ABC взята точка D, AC = CD. Через нее
21. Упражнение 16 В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий CC1 в точке M,
22. Упражнение 17 В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий CC1 в точке M,
23. Упражнение 18 В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий CC1 в точке M,
24. Упражнение 19 В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий CC1 в точке M,
25. Упражнение 20 В треугольнике ABC проведена отрезки AA1 и отрезок CC1, пересекающиеся в точке M, для
26. Упражнение 21 В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий CC1 в точке M,
27. Упражнение 22 В параллелограмме ABCD точка E – середина стороны CD. Отрезок AE пересекает диагональ BD
28. Упражнение 23 В параллелограмме ABCD точка E – середина стороны CD. Отрезок AE пересекает диагональ BD
30. Скачать презентацию

Слайд 2

Теорема Фалеса
Теорема. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной

его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (рис. а).

Теорему Фалеса можно применять для деления отрезка на n равных частей (рис. б).

Слайд 3

Теорема о пропорциональных отрезках
Теорема. (О пропорциональных отрезках.) Параллельные прямые, пересекающие стороны

угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Говорят, что отрезки АВ, CD пропорциональны отрезкам A1B1, C1D1, если равны их отношения

Слайд 4

Свойство биссектрисы треугольника
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные

прилежащим сторонам, т.е. если CD – биссектриса треугольника ABC, то AD : DB = AC : BC.

Слайд 5

Обратное свойство
Если луч, проведенный из вершины угла треугольника, делит противоположную сторону

на части, пропорциональные сторонам треугольника, прилежащим к лучу, то этот луч является биссектрисой угла треугольника.

Доказательство: Пусть для луча CD выполняется равенство AD : DB = AC : BC. Проведем прямую BE, параллельную CD. По теореме о пропорциональных отрезках, AD : DB = AC : CE. Сравнивая эти два равенства, получаем равенство BC = CE, из которого следует равенство углов CBE и BEC. Но угол CBE равен углу BCD, а угол BEC равен углу ACD. Значит, CD – биссектриса треугольника ABC.

Слайд 6

Упражнение 1
Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в

точках A, C и B, D соответственно. Найдите OC, если OB = BD = 5 и OA = 6.

Ответ: 12.

Слайд 7

Упражнение 2
Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в

точках A, C и B, D соответственно. Найдите OD, если OA = 6, AC = 12 и OB = 5.

Ответ: 15.

Слайд 8

Упражнение 3
Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в

точках A, C и B, D соответственно. Найдите OA, если OC = 24 и OB : OD = 2 : 3.

Ответ: 16.

Слайд 9

Упражнение 4
Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в

точках A, B и C, D соответственно. Найдите OA, если OB = 15 см и OC : OD = 2 : 5.

Ответ: 6 см.

Слайд 10

Упражнение 5
Определите, пропорциональны ли пары отрезков а, b и c, d,

если:
а) a = 0,8 см, b = 0,3 см, с = 2,4 см, d = 0,9 см;
б) а = 50 мм, b = 6 см, с = 10 см, d = 18,5 см.

Ответ: а) Да;

б) нет.

Слайд 11

Упражнение 6
Среди отрезков a, b, c, d, e выберите пары пропорциональных

отрезков, если а = 2 см, b = 17,5 см, с = 16 см, d = 35 см, е = 4 см.

Ответ: a, e и b, d.

Слайд 12

Упражнение 7
Даны три отрезка: а, b, и с. Какова должна быть

длина четвертого отрезка d, чтобы из них можно было образовать две пары пропорциональных отрезков, если а = 6 см, b = 3 cм, с = 4 см, и отрезок d больше каждого из этих отрезков.

Ответ: 8 см.

Слайд 13

Упражнение 8
На одной из сторон угла расположены два отрезка 3 см

и 4 см. Через их концы проведены параллельные прямые, образующие на другой стороне также два отрезка. Больший из отрезков равен 6 см. Чему равен другой отрезок?

Ответ: 4,5 см.

Слайд 14

Упражнение 9
Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в

точках A1, A2 и B1, B2 соответственно. Найдите: а) B1B2, если OA1 = 8 см, A1A2 = 4 см, OB2 = 6 см; б) OB1 и OB2, если OA1 : OA2 = 3 : 5 и OB2 – OB1 = 8 см; в) OA1 и OA2, если OB1 : B1B2 = 2 : 3 и OA1 + OA2 = 14 см.

Ответ: а) 2 см;

б) 12 см и 20 см;

в) 4 см и 10 см.

Слайд 15

Упражнение 10
В треугольнике АВС сторона ВС разделена на четыре равные части

и через полученные точки деления проведены прямые, параллельные стороне АВ, равной 18 см. Найдите отрезки этих прямых, заключенные внутри треугольника.

Ответ: 4,5 см, 9 см, 13,5 см.

Слайд 16

Упражнение 11
Основания трапеции равны 14 см и 20 см. Одна из

боковых сторон разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Найдите отрезки этих прямых, заключенные внутри трапеции.

Ответ: 16 см и 18 см.

Слайд 17

Упражнение 12
На медиане CC1 треугольника ABC взята точка M, CM:MC1 =

3:1. Через нее проведена прямая, параллельная стороне BC, пересекающая сторону AB в точке N. Найдите отношение AN:NB.

Решение. C1N:NB = 1:3, AC1 = C1B, следовательно, AN:NB = 5:3.

Слайд 18

Упражнение 13
В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и CC1, которые пересекаются

в точке M. Найдите отношение CM : MC1.

Слайд 19

Упражнение 14
На продолжении стороны AC треугольника ABC взята точка K, AC

= CK. Через нее и середину L стороны AB проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке N. Найдите отношение BN:NC.

В треугольнике ABK отрезки BC и KL являются медианами. В силу предыдущей задачи, BN:NC = 2:1.

Слайд 20

Упражнение 15
На продолжении стороны AC треугольника ABC взята точка D, AC

= CD. Через нее и середину E стороны BC проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке F. Найдите отношение AF:FB.

Треугольнике BEF и CEG равны по 2-му признаку. Следовательно, AF = 2CG = 2FB, значит, AF:FB = 2:1.

Слайд 21

Упражнение 16
В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий

CC1 в точке M, для которого CA1:A1B = 3:1. Найдите отношение CM : MC1.

Он является средней линией треугольника AA1B, следовательно, A1D = DB. В треугольнике CC1D CA1: A1D = 3:0,5. Значит, CM : MC1 = 6:1.

Слайд 22

Упражнение 17
В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий

CC1 в точке M, для которого CA1:A1B = 3:1. Найдите отношение AM : MA1.

Имеем, C1D: DB = 3:1. Следовательно, AC1 : C1D = 4:3. Значит, AM : MA1 = 4:3.

Слайд 23

Упражнение 18
В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий

CC1 в точке M, для которого CA1:A1B = 1:2. Найдите отношение CM : MC1.

Он является средней линией треугольника AA1B, следовательно, A1D = DB. В треугольнике CC1D CA1: A1D = 1:1. Значит, CM : MC1 = 1:1.

Слайд 24

Упражнение 19
В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий

CC1 в точке M, для которого CA1:A1B = 1:2. Найдите отношение AM : MA1.

Имеем, С1D : DB = 1:2. Следовательно, AC1: C1D = 3:1. Значит, AM : MA1 = 3:1.

Слайд 25

Упражнение 20
В треугольнике ABC проведена отрезки AA1 и отрезок CC1, пересекающиеся

в точке M, для которых AC1:C1B = 1:2, CA1:A1B = 2:1. Найдите отношение CM : MC1.

Слайд 26

Упражнение 21
В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий

CC1 в точке M, для которого CA1:A1B = 2:1. Найдите отношение AM : MA1.

Слайд 27

Упражнение 22
В параллелограмме ABCD точка E – середина стороны CD. Отрезок

AE пересекает диагональ BD в точке F. Найдите отношение DF : FB.

В треугольнике CDH EF – средняя линия. Следовательно, DF = FH. В треугольнике ABF GH – средняя линия. Следовательно, BH = HG. Значит, DF : FB = 1 : 2.

Слайд 28

Упражнение 23
В параллелограмме ABCD точка E – середина стороны CD. Отрезок

AE пересекает диагональ BD в точке F. Найдите отношение AF : FE.

В треугольнике CDH EF – средняя линия. Следовательно, AF = CH = 2FE. Значит, AF : FE = 2 : 1.

Фалес Милетский VI век до н. э. Теорема Фалеса

Содержание

Теорема ФалесаТеорема. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной

Теорема о пропорциональных отрезкахТеорема. (О пропорциональных отрезках.) Параллельные прямые, пересекающие стороны

Свойство биссектрисы треугольникаБиссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные

Обратное свойствоЕсли луч, проведенный из вершины угла треугольника, делит противоположную сторону

Упражнение 1Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в

Упражнение 2Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в

Упражнение 3Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в

Упражнение 4Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в

Упражнение 5Определите, пропорциональны ли пары отрезков а, b и c, d,

Упражнение 6Среди отрезков a, b, c, d, e выберите пары пропорциональных

Упражнение 7Даны три отрезка: а, b, и с. Какова должна быть

Упражнение 8На одной из сторон угла расположены два отрезка 3 см

Упражнение 9Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в

Упражнение 10В треугольнике АВС сторона ВС разделена на четыре равные части

Упражнение 11Основания трапеции равны 14 см и 20 см. Одна из

Упражнение 12На медиане CC1 треугольника ABC взята точка M, CM:MC1 =

Упражнение 13В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и CC1, которые пересекаются

Упражнение 14На продолжении стороны AC треугольника ABC взята точка K, AC

Упражнение 15На продолжении стороны AC треугольника ABC взята точка D, AC

Упражнение 16В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий

Упражнение 17В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий

Упражнение 18В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий

Упражнение 19В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий

Упражнение 20В треугольнике ABC проведена отрезки AA1 и отрезок CC1, пересекающиеся

Упражнение 21В треугольнике ABC проведена медиана СС1 и отрезок AA1, пересекающий

Упражнение 22В параллелограмме ABCD точка E – середина стороны CD. Отрезок

Упражнение 23В параллелограмме ABCD точка E – середина стороны CD. Отрезок

Похожие презентации