Функція розподілу випадкової величини та її головні характеристики. Нормальний розподіл

приймає окремі, ізольовані можливі значення з певними ймовірностями
Кількість можливих значень – скінчена або нескінченна

Неперервна ВВ – ВВ, яка приймає всі можливі значення з певного скінченого або нескінченного проміжку
Кількість можливих значень - нескінченна

випадкова величина (ВВ) – величина, яка в результаті випробування прийме одне і тільки одне можливе значення, що наперед невідоме і залежить від випадкових причин, які завчасно (перед випробуванням) не можуть бути враховані

значеннями ВВ і їх ймовірностями.
Задається: графічно, аналітично, таблично:

x1

x2

x3

x4

x5

Xі

Pі

p1

p2

p3

p4

p5

9 чорних. Навмання витягли 1 щура. Знайти закон розподілу для випадкової величини Х – кольору щура

Розв’язок:
Можливий колір позначимо 1 – білий, 2 – сірий, 3 – чорний, тобто:
х1 =1,
х2 = 2,
х3 = 3.
Для цих значень ймовірності є:
р1 = 1/20,
р2 = ½,
р3 = 9/20

кожному з них р (не появи – q=1-p).
Ймовірність появи події А рівно k разів у n випробуваннях:

Біноміальний розподіл – це розподіл ймовірностей, який визначається формулою Бернуллі:

Формула Бернуллі

ймовірність народження хлопчика = 0,51

Розв’язок:
q=1-0.51=0.49
Можливо, що в трійні буде
0, 1, 2 і 3 хлопчиків,
тоді ймовірності цих подій:

дуже мале значення, а n – велике),
ймовірність появи рівно k разів події А у n випробуваннях:
а – найімовірніше число появи події А

= 0,0006.
а) Яка ймовірність, що 4 книги буде неправильно зброшуровано?
б) Яка найімовірніша кількість книг буде бракованою? Яка її ймовірність?

Розв’язок:
Маємо: n=5000,
p=0.0006, k=4, тоді:
а)
б)

середнього значення ВВ;
- це сума добутків всіх можливих значень ДВВ на їх ймовірності:

Властивості:
Математичне сподівання константи дорівнює самій константі:
М(С)=С
Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання:
М(СХ)=С*М(Х)
Мат.сподівання добутку взаємно незалежних ВВ дорівнює добутку їх мат.сп.:
М(Х1Х2...Хn)=М(Х1)*М(Х2)*...*М(Хn)
Для суми взаємно незалежних ВВ:
М(Х1 + Х2 +...+ Хn) = М(Х1)+М(Х2) +...+ М(Хn)
Для біноміального закону М(Х)=n*p=а

сподівання квадрату відхилень ВВ від її математичного сподівання:

Властивості:
Дисперсія константи дорівнює 0:
D(C)=0,
Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, попередньо встановивши його квадрат:
D(CX)=C2*D(X),
Дисперсія суми незалежних величин:
D(X1+X2+…+Xn) =
D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)
Дисперсія добутку незалежних величин:
D(X1*X2*…*Xn) =
D(X1)*D(X2)*…*D(Xn)
Для біноміального розподілу: D(X)=n*p*q

квадратний корінь з дисперсії

появи хлопчиків у трійні:

Математичне сподівання:
Дисперсія:
Середньоквадратичне відхилення:

її функція густини (значення ймовірності рі будь-якого хі знаходиться в інтервалі (х + dx)) має вигляд:

а – математичне сподівання,
σ -середньоквадратичне відхилення
ПРИ: а = 0, σ = 1, функція називається Функцією Лапласа:

випадкової величини розраховується:

у
Правило 2 та 3 σ(2 і 3 сигм) : 95,45% і 99,73% всіх незалежних спостережень з нормальної сукупності лежить, відповідно, в зоні 2 і 3 стандартних відхилень від середнього значення.

= 2. Написати густину ймовірності Х.

Використаємо формулу:

дорівнюють 10 і 2. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення, яке буде міститись в інтервалі (12, 14).

Маємо формулу: