Геометрические приложения определенного интеграла

Пример.

Решение.

2) В параметрической форме.

Вычислить площадь эллипса.

Пример.

Решение.

Уравнения эллипса в параметрической форме:

3) В полярных координатах.

Пример.

Решение.

1) В декартовых координатах.

2) В параметрической форме.

Пример.

Вычислить длину витка винтовой линии

Решение.

3) В полярных координатах.

Пример.

Решение.

1) В декартовых координатах.

2) В параметрической форме.

3) В полярных координатах.

- площадь любого сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Оx.

Вычисление объёмов

Пример.

Решение.

Основание треугольника

2) Вычисление объёмов тел вращения.

Пример.

Решение.

Несобственные интегралы.

называется несобственным интегралом
первого рода.

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся.

Обобщённая формула Ньютона-Лейбница.

Точно также,

Вычислить несобственные интегралы, или
доказать что они расходятся.

(сходится)

Пример.
(расходится)

(предел

Признаки сходимости интегралов
с бесконечными пределами.

Признаки сравнения

то интегралы

ведут себя одинаково в отношении сходимости
и

расходится

Пример.

Исследовать на сходимость

Решение.

Несобственные интегралы второго рода.

называется несобственным интегралом
второго рода.

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся.

Если каждый из интегралов в правой части равенства сходится, то несобственный

Пример.

Решение.

По обобщенной формуле Ньютона-Лейбница: