Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной.

Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной

х2 х3 х4

х

у

В точке х2 угол наклона касательной – острый,

Окрестность точки

Определение Окрестностью точки называется некоторый интервал, содержащий данную точку

Например:
Точка О є (-1; 1)
Интервал (-1; 1) – окрестность точки О.

Окрестность

Точка локального максимума

Точка а из области определения функции f(х) называется точкой

Пусть т. О є (-1; 1)
Для любого х из окрестности точки

Точка локального минимума

Точка а из области определения функции f(х) называется точкой

Точка А є (3; 5).
Для любого х из окрестности точки А:

Точки максимума и минимума обозначают:
Хmax, Xmin – точки экстремума.
Значения функции в

y

Сколько точек локального минимума и локального максимума имеет функция у=f(х)?

у =

Ответ: 2

Точки локального максимума и локального минимума функции называются точками локальных экстремумов

Теорема Ферма. (Необходимое условие экстремума)

Теорема. Если х0 - точка экстремума дифференцируемой функции

Вспомним, что точки, в которых f´(х) = 0 называются критическими или

Ответим на вопрос - верно ли обратное утверждение:

если функция дифференцируема в

Интересно: f ´(х0) = 0 х0 - точка экстремума

f (х)

Таким образом, если f' (х0 ) = 0, то необязательно,

Достаточное условие существования экстремума функции:
Если при переходе через точку

Достаточное условие существования экстремума функции:
Если при переходе через точку х0

Алгоритм нахождения точек экстремума функции:
1) найти производную функции;
2) найти критические точки,

Упрощенное нахождение точек максимума и
минимума:
х=-2 – точка максимума,
х=0

Пример:
Найдите точки экстремума функции
f(х)=2х4 – 4х2 +1
f´(х)= 8х3 –

Решение упражнений.

УСТНО:

№1 В каких точках производная функции равна нулю? Не существует?

O

x

y

1

1

●

●

●

●

●

●

●

х 1

х

№ 2 С помощью графиков функций найдите промежутки возрастания, убывания функции