Интегралы, локальные вклады. (Лекция 3)

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Интегралы, локальные вклады. (Лекция 3)

Содержание

2. 1. Лемма Ватсона: основная идея Ключ: основной вклад в интеграл локальный: его дает малая окрестность нуля.
3. 2. Лемма Ватсона: пример Т.к. основной вклад в интеграл приходит из малой окрестности точки t=0 естественно
4. 3 Лемма Ватсона: окончательная формулировка Лемма Ватсона (общий случай) Используется тот факт, что
5. Способ 2 : раскладываем и пользуемся леммой Ватсона 4. Пример Способ 1 : интегрирование по частям
6. 5. Интеграл от «шапочки»: основная идея Ключ: основной вклад в интеграл локальный: его дает малая окрестность
7. 6. Интеграл от «шапочки»: вычисления
8. 7. Обобщение: Метод Лапласа Пусть Тогда основной вклад в интеграл дает малая окрестность точки
9. 8. Пример. Формула Стирлинга Относительная погрешность Представленный пример является обобщением стандартного метода Лапласа: здесь точка минимума
10. 9. Интеграл Фурье 1) быстро осциллирует и осцилляции взаимно уничтожаются во всех внутренних точках интервала. Основной
11. 10. Метод стационарной фазы: основная идея Графики вещественной (слева) и мнимой (справа) частей функции при все
12. 11. Метод стационарной фазы: вычисления Знак совпадает со знаком
13. 12. Метод скорейшего спуска.1-й шаг: деформация контура интегрирования Мешает мнимая часть f Мнимая часть f константа
14. 13. Метод скорейшего спуска.2-й шаг: локальный анализ Вдоль выбранного пути интегрирования Перенормировка
15. 14. Метод скорейшего спуска: резюме Не меняя значения интеграла так изменяем контур интегрирования, чтобы он проходил
16. 15. Пример: функция Эйри Контур С, начинается на бесконечности с и заканчивается на бесконечности с Линии
17. 16. Пример: функция Эйри Перенормировка g(x,t) в новых переменных
19. Скачать презентацию

Слайд 2

1. Лемма Ватсона: основная идея
Ключ: основной вклад в интеграл локальный: его

дает малая окрестность нуля. Вклад от оставшейся области экспоненциально мал

Слайд 3

2. Лемма Ватсона: пример
Т.к. основной вклад в интеграл приходит из малой

окрестности точки t=0 естественно разложить подынтегральную функцию в нуле

и почленно проинтегрировать возникающее разложение

Оценка остатка

показывает, что ряд действительно является асимптотическим

Слайд 4

3 Лемма Ватсона: окончательная формулировка
Лемма Ватсона (общий случай)
Используется тот факт, что

Слайд 5

Способ 2 : раскладываем и пользуемся леммой Ватсона
4. Пример
Способ 1 :

интегрирование по частям исходного интеграла

А.Р.:

Способ 3 : подчеркивая, что основной вклад приходит из малой

окрестности нуля вводим перенормировку

Слайд 6

5. Интеграл от «шапочки»: основная идея
Ключ: основной вклад в интеграл локальный:

его дает малая окрестность нуля. Вклад от оставшейся области экспоненциально мал

Слайд 7

6. Интеграл от «шапочки»: вычисления

Слайд 8

7. Обобщение: Метод Лапласа
Пусть
Тогда основной вклад в интеграл дает малая

окрестность точки

Слайд 9

8. Пример. Формула Стирлинга
Относительная погрешность <0.001 уже при z=1
Представленный пример является

обобщением стандартного метода Лапласа: здесь точка минимума не оставалась неподвижной, но двигалась вдоль оси t с изменением z .

Слайд 10

9. Интеграл Фурье
1) быстро осциллирует и осцилляции взаимно уничтожаются во

всех внутренних точках интервала. Основной вклад - локальный и приходит с конечных точек интервала

2) При и интеграл Фурье убывает с ростом быстрее любой степенной функции

Слайд 11

10. Метод стационарной фазы: основная идея
Графики вещественной (слева) и мнимой (справа)

частей функции при

все как раньше

такие выкладки невозможны

Это подсказывает, что вклад от т.н. стационарных точек с должен быть больше, чем . Это действительно так, он есть

Слайд 12

11. Метод стационарной фазы: вычисления
Знак совпадает со знаком

Слайд 13

12. Метод скорейшего спуска.1-й шаг: деформация контура интегрирования
Мешает мнимая
часть f
Мнимая

часть f константа

Слайд 14

13. Метод скорейшего спуска.2-й шаг: локальный анализ
Вдоль выбранного пути интегрирования
Перенормировка

Слайд 15

14. Метод скорейшего спуска: резюме
Не меняя значения интеграла так изменяем контур

интегрирования, чтобы он проходил через одну или несколько точек перевала и лежал бы в долинах ниже этих точек. Если ‑ самая высокая точка перевала, такая, в которой имеет наибольшее значение, то ее окрестность порождает главную часть интеграла при . Соответствующий вклад определяется формулой
Если имеется несколько точек перевала одинаковой высоты, то вклад каждой из них имеет величину одного и того же порядка, и мы должны просто просуммировать все эти вклады

Слайд 16

15. Пример: функция Эйри
Контур С, начинается на бесконечности с и заканчивается

на бесконечности с

Линии уровня Re(g) при x=4 . Более насыщенный цвет линий отвечает меньшим значениям функции

Точки перевала

Контур интегрирования должно продефор-мировать так, чтобы он проходил через левую точку перевала

Вблизи нее:

Ширина интервала, вносящего основной вклад в интеграл есть величина порядка

Слайд 17

Интегралы, локальные вклады. (Лекция 3)

Содержание

1. Лемма Ватсона: основная идеяКлюч: основной вклад в интеграл локальный: его

2. Лемма Ватсона: примерТ.к. основной вклад в интеграл приходит из малой

3 Лемма Ватсона: окончательная формулировкаЛемма Ватсона (общий случай)Используется тот факт, что

Способ 2 : раскладываем и пользуемся леммой Ватсона4. ПримерСпособ 1 :

5. Интеграл от «шапочки»: основная идеяКлюч: основной вклад в интеграл локальный:

6. Интеграл от «шапочки»: вычисления

7. Обобщение: Метод ЛапласаПусть Тогда основной вклад в интеграл дает малая

8. Пример. Формула СтирлингаОтносительная погрешность <0.001 уже при z=1Представленный пример является

9. Интеграл Фурье 1) быстро осциллирует и осцилляции взаимно уничтожаются во

10. Метод стационарной фазы: основная идеяГрафики вещественной (слева) и мнимой (справа)

11. Метод стационарной фазы: вычисленияЗнак совпадает со знаком

12. Метод скорейшего спуска.1-й шаг: деформация контура интегрированияМешает мнимая часть fМнимая

13. Метод скорейшего спуска.2-й шаг: локальный анализВдоль выбранного пути интегрированияПеренормировка

14. Метод скорейшего спуска: резюмеНе меняя значения интеграла так изменяем контур

15. Пример: функция ЭйриКонтур С, начинается на бесконечности с и заканчивается

16. Пример: функция ЭйриПеренормировкаg(x,t) в новых переменных

Похожие презентации