Интервальное оценивание

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Интервальное оценивание

Содержание

2. План лекции: Актуальность темы. Интервальное оценивание. Точность оценок. Доверительный интервал. Построение интервальной оценки математического ожидания случайной
3. Интервальное оценивание Точечной называют оценку, которая определяется одним числом (М(х), D(x), σ...) При выборке малого объема
4. Пусть θ – какая-либо характеристика генеральной совокупности, θ* - ее оценка по выборке. Чем меньше абсолютная
5. Пусть вероятность того, |θ – θ*| P[|θ – θ*| -δ θ*- δ P[θ*-δ Вероятность того, что
6. На практике применяют два варианта задания доверительных границ: 1) устанавливают симметрично относительно оценки параметра, тогда величина
7. Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии Если потребовать абсолютную надежность оценки математического ожидания, то
9. Для симметричных функций минимальный интервал тоже будет симметричным относительно оценки В этом случае выражение для доверительной
10. Для такой случайной величины вероятность попадания на симметричный относительно математического ожидания интервал выражается через функцию Лапласа:
11. Абсолютная погрешность: Полученное соотношение означает, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр (математическое ожидание a) с вероятностью
12. Пример: По данным выборки (n=100) найти доверительный интервал для математического ожидания a с надежностью 0,95, если
13. 2. Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии По данным выборки можно построить СВ: которая
14. Пример: По данным выборки (n=100) найти доверительный интервал для математического ожидания a с надежностью 0,95. Определим
15. Для n выборок из генеральной совокупности получим ряд средних арифметических: Центральная предельная теорема: Выборочные средние имеют
16. Так как σ генеральной совокупности неизвестна, а разница между сигмами генеральной совокупности и выборки невелика, то
17. Если объекты отобраны в выборку случайным образом, то чем больше ее размеры, тем меньше стандартная ошибка,
18. Критерий нормированного отклонения (по Стьюденту): Критерий Стьюдента показывает отклонение средней арифметической выборки от генеральной средней, выраженное
19. 3. Доверительный интервал для дисперсии при известном математическом ожидании Пусть x1 , x2 … xn –
20. Доверительным интервалом для D(X)= σ2 с надежностью γ является промежуток h1 и h2 находятся по таблице
21. 4. Доверительный интервал для дисперсии при неизвестном математическом ожидании Т.к. a - неизвестно, будем использовать исправленную
22. Пример: n=50, Dв=S2=0,22. Найти 95% ДИ для дисперсии. Решение: n-1=49 h1=χ2 49,0,025=70,24 h2= χ2 49,0,975=31,55 95%
23. 5. Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения т.к. s=√D, то ДИ равен: Интервалы, построенные с помощью
24. Обозначим: Вычислив по выборке значение S и найдя по таблице q , получим искомый доверительный интервал
25. Пример: Количественный признак в генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=25 найдено «исправленное среднее квадратическое
26. Оценка точности измерений В теории ошибок принято точность измерений характеризовать с помощью среднего квадратического отклонения случайных
28. Скачать презентацию

Слайд 2

План лекции:
Актуальность темы.
Интервальное оценивание. Точность оценок. Доверительный интервал.
Построение интервальной

оценки математического ожидания случайной величины по выборке из нормальной совокупности.
Построение доверительного интервала для оценки генеральной дисперсии по выборке из нормальной совокупности.
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения.
Заключение.

Слайд 3

Интервальное оценивание
Точечной называют оценку, которая определяется одним числом (М(х), D(x), σ...)
При

выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от параметра генеральной совокупности.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, внутри которого, предположительно, находится истинное значение параметра.
Интервальные оценки являются более полными и надежными по сравнению с точечными, они применяются как для больших, так и для малых выборок.
Совокупность методов определения промежутка, в котором лежит значение искомого параметра, получила название методов интервального оценивания.

Слайд 4

Пусть θ – какая-либо характеристика генеральной совокупности, θ* - ее оценка по

выборке.
Чем меньше абсолютная величина разности |θ – θ*|, тем точнее θ*определяет параметр θ.
Т.е. если существует такое δ>0, что
|θ – θ*|< δ, то чем меньше δ,тем точнее оценка. Т.о. δ характеризует точность оценки.
Надежностью (доверительной вероятностью) оценки θ по θ* называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство
|θ – θ*|< δ.
В медико-биологических исследованиях за доверительные вероятности приняты: 0,95; 0,99; 0,999.

Слайд 5

Пусть вероятность того, |θ – θ*|< δ равна γ:
P[|θ –

θ*|< δ ]= γ
-δ < |θ – θ*|< δ или
θ*- δ < θ< θ*+δ;
P[θ*-δ< θ< θ*+δ]= γ
Вероятность того, что интервал
(θ*-δ, θ*+δ) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр θ равна γ.
Доверительным называется интервал
(θ*- δ, θ*+ δ), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью γ.
Доверительные границы являются случайными величинами и изменяются от выборки к выборке.

Слайд 6

На практике применяют два варианта задания доверительных границ:
1) устанавливают симметрично

относительно оценки параметра, тогда величина абсолютной погрешности оценивания равна половине доверительного интервала;
2) устанавливают из условия равенства вероятностей выхода за верхнюю и нижнюю границу.
Для симметричных распределений случайного параметра θ оба варианта эквивалентны.
Нахождение доверительных интервалов требует знания вида и параметров закона распределения случайной величины θ. Для ряда практически важных случаев этот закон можно определить из теоретических соображений.

Слайд 7

Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии Если потребовать абсолютную надежность

оценки математического ожидания, то границы доверительного интервала будут бесконечными (-∞, +∞). Выбор любых более узких границ связан с риском ошибки, вероятность которой определяется уровнем значимости α=1- γ,

Доверительные интервалы для параметров нормального распределения.

Слайд 8

Слайд 9

Для симметричных функций минимальный интервал тоже будет симметричным относительно оценки

В этом случае выражение для доверительной вероятности имеет вид:
где δ – абсолютная погрешность оценивания.
Будем полагать, что дисперсия σ2 известна, тогда выборочное среднее – нормально распределенная случайная величина с параметрами

Слайд 10

Для такой случайной величины вероятность попадания на симметричный относительно математического

ожидания интервал выражается через функцию Лапласа:
где
При заданной надежности , уравнение можно решить приближенно с помощью таблицы значений функции Лапласа .
Если точного значения в списке значений нет, то надо найти два ближайших к нему значения, одно большее, а другое меньшее, чем , и найти их среднее арифметическое.

Слайд 11

Абсолютная погрешность:
Полученное соотношение означает, что доверительный интервал
покрывает неизвестный параметр (математическое

ожидание a) с вероятностью (надежностью) P=γ, а точность оценки равна δ
.
Объем выборки:
При фиксированном объеме выборки из оценки следует, что чем больше доверительная вероятность , тем шире границы доверительного интервала (тем больше ошибка в оценке математического ожидания). Чтобы снизить ошибку в оценке значения, можно увеличить объем выборки. При этом, чтобы снизить относительную погрешность на порядок, необходимо увеличить объем выборки на два порядка

Слайд 12

Пример:
По данным выборки (n=100) найти доверительный интервал для математического ожидания a с

надежностью 0,95, если известна дисперсия D(x)=σ2=64.
Определяем =170
По заданной надежности найдем с помощью таблицы, параметр t: ,
откуда Ф(t)= 0,475, t = 1,96.
Интервал (168,4; 171,6) покрывает параметр М(Х)=а с надежностью 0,95 с известной дисперсией σ2=64.

Слайд 13

2. Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии
По данным выборки

можно построить СВ:
которая имеет распределение Стьюдента с
k=n-1 степенями свободы. S–исправленное среднее квадратическое отклонение. Распределение Стьюдента не зависит от а и σ.

Слайд 14

Пример: По данным выборки (n=100) найти доверительный интервал для математического ожидания

a с надежностью 0,95.
Определим по выборке: =170 Dв =64. n=100
Найдем исправленную дисперсию:
S2=(64⋅100/99)=64,65
Таким образом, интервал (151,01

Слайд 15

Для n выборок из генеральной совокупности получим ряд средних арифметических:
Центральная

предельная теорема:
Выборочные средние имеют приближенно нормальное распределение независимо от распределения исходной совокупности, из которой были извлечены выборки.
Среднее значение всех возможных выборочных средних равно среднему исходной совокупности.
Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных независимых СВ в n раз меньше дисперсии каждой из величин: D( ) =D/n
Стандартное отклонение всех возможных средних по выборкам данного объема зависит как от стандартного отклонения совокупности, так и от объема выборки:

Слайд 16

Так как σ генеральной совокупности неизвестна, а разница между сигмами генеральной

совокупности и выборки невелика, то в формуле используют среднее квадратическое отклонение выборки s. Таким образом, величина служит мерой точности, с которой выборочное среднее является оценкой среднего по совокупности a. Поэтому эту величину называют средней квадратической ошибкой (или ошибкой выборочности, стандартной ошибкой). Стьюдент показал, что оценка расхождений между средним значением малой выборки и средним значением генеральной совокупности подчиняется особому закону распределения: t-распределению Стьюдента.

Слайд 17

Если объекты отобраны в выборку случайным образом, то чем больше ее

размеры, тем меньше стандартная ошибка, а значит, меньше расхождения в выборочной и генеральной совокупностях.

Слайд 18

Критерий нормированного отклонения (по Стьюденту):
Критерий Стьюдента показывает отклонение средней арифметической выборки

от генеральной средней, выраженное в единицах средней квадратической ошибки.
Доверительный интервал для генеральной средней имеет вид:

Слайд 19

3. Доверительный интервал для дисперсии при известном математическом ожидании
Пусть x1

, x2 … xn – выборка наблюдений из нормальной генеральной совокупности. Найдем доверительный интервал для дисперсии нормально распределенного признака Х с известным математическим ожиданием M(x)=a. Поскольку значение математического ожидания известно, то в качестве оценки величины σ2 возьмем точечную оценку дисперсии,
которую будем рассматривать как случайную величину, зависящую от случайной выборки.

Слайд 20

Доверительным интервалом для
D(X)= σ2 с надежностью γ является промежуток
h1 и

h2 находятся по таблице критических точек распределения χ2
Пусть вероятности попадания значений левее h1 и правее h2 были одинаково равными . Тогда:

Слайд 21

4. Доверительный интервал для дисперсии при неизвестном математическом ожидании

Т.к.

a - неизвестно, будем использовать исправленную выборочную дисперсию:
значение дисперсии D(X) с надежностью γ покрывается доверительным интервалом:

Слайд 22

Пример: n=50, Dв=S2=0,22. Найти 95% ДИ для дисперсии.
Решение: n-1=49
h1=χ2

49,0,025=70,24
h2= χ2 49,0,975=31,55
95% ДИ=(0,15; 0,34)

Слайд 23

5. Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения
т.к. s=√D, то ДИ

равен:

Интервалы, построенные с помощью распределения χ2 не являются симметричными.

Слайд 24

Обозначим:
Вычислив по выборке значение S и найдя по таблице q , получим

искомый доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения, покрывающий параметр с заданной надежностью γ:

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения

Слайд 25

Пример:
Количественный признак в генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=25

найдено «исправленное среднее квадратическое отклонение» s=0,8. Найти интервал, покрывающий среднее квадратическое отклонение σ с надежностью γ=0,95.
По таблице находим q(0,95;25)=0,32
ДИ: 0,8(1-0,32)< σ< 0,8(1+0,32)
0,544< σ< 1,056

Слайд 26

Оценка точности измерений
В теории ошибок принято точность измерений характеризовать с помощью

среднего квадратического отклонения случайных ошибок измерений.
Пример: По 15 равноточным измерениям найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=0,12. Найти точность измерений с надежностью 0,99.
По табл. находим q=0,73
0,12(1-0,73)<σ<0,12(1+0,73)
или 0,03<σ<0,21

Интервальное оценивание

Содержание

План лекции:Актуальность темы. Интервальное оценивание. Точность оценок. Доверительный интервал. Построение интервальной

Интервальное оцениваниеТочечной называют оценку, которая определяется одним числом (М(х), D(x), σ...)При

Пусть θ – какая-либо характеристика генеральной совокупности, θ* - ее оценка по

Пусть вероятность того, |θ – θ*|< δ равна γ: P[|θ –

На практике применяют два варианта задания доверительных границ: 1) устанавливают симметрично

Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии Если потребовать абсолютную надежность

Для симметричных функций минимальный интервал тоже будет симметричным относительно оценки

Для такой случайной величины вероятность попадания на симметричный относительно математического

Абсолютная погрешность:Полученное соотношение означает, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр (математическое

Пример:По данным выборки (n=100) найти доверительный интервал для математического ожидания a с

2. Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсииПо данным выборки

Пример: По данным выборки (n=100) найти доверительный интервал для математического ожидания

Для n выборок из генеральной совокупности получим ряд средних арифметических: Центральная

Так как σ генеральной совокупности неизвестна, а разница между сигмами генеральной

Если объекты отобраны в выборку случайным образом, то чем больше ее

Критерий нормированного отклонения (по Стьюденту):Критерий Стьюдента показывает отклонение средней арифметической выборки

3. Доверительный интервал для дисперсии при известном математическом ожидании Пусть x1

Доверительным интервалом для D(X)= σ2 с надежностью γ является промежуток h1 и

4. Доверительный интервал для дисперсии при неизвестном математическом ожидании Т.к.

Пример: n=50, Dв=S2=0,22. Найти 95% ДИ для дисперсии. Решение: n-1=49 h1=χ2

5. Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения т.к. s=√D, то ДИ

Обозначим:Вычислив по выборке значение S и найдя по таблице q , получим

Пример: Количественный признак в генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=25

Оценка точности измеренийВ теории ошибок принято точность измерений характеризовать с помощью

Похожие презентации