Интервальное оценивание параметров ( лекция 7)

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Интервальное оценивание параметров ( лекция 7)

Содержание

2. Три теоремы математической статистики Сначала рассмотрим три теоремы математической статистики. Их суть состоит в определении закона
3. Распределение χ2 (Хи-квадрат) Теорема 1. Если Xi - независимые СВ, подчиняющиеся нормальному закону распределения и у
4. Распределение χ2 (Хи-квадрат) Плотность вероятности распределения χ2 равна где Г(•) – гамма – функция; х –
5. Распределение χ2 (Хи-квадрат) Математическое ожидание и дисперсия распределения χ2 равны: mx = ν и Dx =
6. Распределение χ2 (Хи-квадрат) В случае, если ν > 30, то можно использовать формулу где t’p –
7. Распределение χ2 (Хи-квадрат) В конечном итоге из изложенной выше теоремы следует, что (n-1)[S2x/σ2x] имеет распределение χ2
8. t - распределение (Стьюдента) Теорема 2. Если Z – нормированная нормально распределенная СВ, а U –
9. t - распределение (Стьюдента) Плотность вероятности этого распределения определяется равенством где с(ν) - параметр, зависящий от
10. t - распределение (Стьюдента) График функции плотности вероятности Математическое ожидание mt дисперсия Dt и среднее квадратичное
11. t - распределение (Стьюдента) Из этой теоремы следует, что величина (хср. - mx)/(S/√n) имеет распределение Стьюдента,
12. F – распределение (Фишера) Теорема 3. Если Z и U независимые СВ, обладающие χ2 распределением с
13. F – распределение (Фишера) Плотность вероятности F – распределения имеет вид где c1(ν1,ν2) – параметр, зависящий
14. F – распределение (Фишера) График плотности вероятности f(F) Математическое ожидание, дисперсия и мода соответственно равны mF
15. Интервальные оценки параметров распределения Интервальной оценкой параметра G называется интервал, границы которого l1* и l2* являются
16. Интервальные оценки параметров распределения Используя функцию распределения выборочных значений параметра G, можно записать вероятности не превышения
17. Интервальные оценки параметров распределения
18. Интервальная оценка математического ожидания На основании теоремы 2 выводится формула для интервальной оценки математического ожидания, а
19. Интервальная оценка математического ожидания Следовательно - t(1+p)/2 ≤ [(x-mx)/(Sx/√n)] После преобразования получаем
20. Интервальная оценка дисперсии Исходя из теоремы 1 можно записать, что где Sx2 = D* - выборочная
21. Интервальная оценка дисперсии Из этого выражения можно получить также интегральную оценку СКО.
23. Скачать презентацию

Слайд 2

Три теоремы математической статистики
Сначала рассмотрим три теоремы математической статистики. Их суть

состоит в определении закона распределения для СВ, которая является функцией других СВ
Распределение χ2 (Хи-квадрат)
t - распределение (Стьюдента)
F – распределение (Фишера)

Слайд 3

Распределение χ2 (Хи-квадрат)
Теорема 1. Если Xi - независимые СВ, подчиняющиеся нормальному

закону распределения и у которых mx равно нулю, а σx равно единице, то СВ

подчиняется распределению χ2 (хи – квадрат) с ν степенями свободы.
Распределение χ2 определяется одним параметром ν, который называется числом степеней свободы (значение ν равно числу независимых СВ под знаком суммы)

Слайд 4

Распределение χ2 (Хи-квадрат)
Плотность вероятности распределения χ2 равна
где Г(•) – гамма –

функция; х – значение СВ χ2.

График плотности вероятности распределения хи - квадрат

Слайд 5

Распределение χ2 (Хи-квадрат)
Математическое ожидание и дисперсия распределения χ2 равны: mx

= ν и Dx = 2ν
Медиана может быть определена приближенным равенством: Me = ν – 0,66
Мода при ν ≥ 2 равна: Мо = ν – 2
При ν = 1 мода отсутствует, так как fν = ∞ при х = 0
При увеличении значения ν распределение χ2 приближается к нормальному распределению

Слайд 6

Распределение χ2 (Хи-квадрат)
В случае, если ν > 30, то можно

использовать формулу

где t’p – квантиль нормального распределения с mt = 0 и σt = 1
р – вероятность не превышения
Это приближение не подходит при р, близких к 0 или 100%. В этих случаях рекомендуется формула

Слайд 7

Распределение χ2 (Хи-квадрат)
В конечном итоге из изложенной выше теоремы следует, что
(n-1)[S2x/σ2x]
имеет

распределение χ2 с (n-1) степенями свободы,
где S2x и σ2x – соответственно выборочная и теоретическая дисперсии)
Значения квантилей χ2 распределения даются в таблицах

Слайд 8

t - распределение (Стьюдента)
Теорема 2. Если Z – нормированная нормально распределенная

СВ, а U – независимая от Z СВ, подчиненная распределению χ2 с ν степенями свободы, тогда СВ t = Z√ν/U подчиняется распределению Стьюдента с ν степенями свободы
Распределение Стьюдента называется также t – распределением.

Слайд 9

t - распределение (Стьюдента)
Плотность вероятности этого распределения определяется равенством
где с(ν) -

параметр, зависящий от числа степеней свободы:

Г(•) – гамма – функция; π – число «пи».
Распределение Стьюдента симметрично.

Слайд 10

t - распределение (Стьюдента)
График функции плотности вероятности
Математическое ожидание mt дисперсия Dt

и среднее квадратичное отклонение σt равны: mt = 0; ν = 1; Dt = σt2 = ν/(ν – 2), ν > 2.
С увеличением ν распределение Стьюдента асимптотически приближается к нормальному распределению с параметрами mt = 0 и σt = 1.

Слайд 11

t - распределение (Стьюдента)
Из этой теоремы следует, что величина
(хср. -

mx)/(S/√n)
имеет распределение Стьюдента,
где хср. и S – выборочное среднее и СКО
n – длина выборки.

Слайд 12

F – распределение (Фишера)
Теорема 3. Если Z и U независимые СВ,

обладающие χ2 распределением с ν1 и ν2 степенями свободы, то СВ F = (Z/ ν1)/(U/ν2) имеет распределение Фишера с ν1 и ν2 степенями свободы. Это распределение также называется F – распределением.

Слайд 13

F – распределение (Фишера)
Плотность вероятности F – распределения имеет вид
где

c1(ν1,ν2) – параметр, зависящий от ν1 и ν2.

Слайд 14

F – распределение (Фишера)
График плотности вероятности f(F)
Математическое ожидание, дисперсия и

мода соответственно равны
mF = ν2/(ν2 – 2), ν2 > 2
DF =2 ν22(ν1 + ν2 – 2)[ν1(ν2 – 2)2(ν2 – 4)], ν2> 4
M0 = ν2(ν1 – 2)[ν1(ν2 + 2)], ν> 1
Из этой теоремы следует, что отношение выборочных дисперсий S12/S22 двух выборок длиной m и n будет иметь F – распределение с числом степеней свободы соответственно ν1 =(m-1) и ν2 = (n-1)

Слайд 15

Интервальные оценки параметров распределения
Интервальной оценкой параметра G называется интервал, границы которого

l1* и l2* являются функциями выборочных значений x1, x2 ….xn и который с заданной вероятностью р накрывает оцениваемый параметр G.
P{ l1*< G ≤ l2*} = P
Интервал (l1*, l2*] называется доверительным интервалом, а величина р – доверительной вероятностью. В качестве р наиболее часто используются значения: 0.9; 0.95 и 0.99.

Слайд 16

Интервальные оценки параметров распределения
Используя функцию распределения выборочных значений параметра G, можно

записать вероятности не превышения для l1* и l2*

P{ G* ≤ l1} = F(l1) = (1-p)/2,
P{ G* ≤ l2} = F(l2) = p + (1-p)/2 = (1+p)/2

Например, если рассматривается 90%-ный доверительный интервал (р = 0.9), то F(l1) = 0.05, F(l2) = 0.95 или соответственно 5 и 95%. Как это показано на верхнем рисунке ниже. А на нижнем рисунке ниже показан тот же доверительный интервал на графике функции плотности вероятности. Не заштрихованная площадь на этом рисунке составляет 90% от общей площади графика.

Слайд 17

Интервальные оценки параметров распределения

Слайд 18

Интервальная оценка математического ожидания
На основании теоремы 2 выводится формула для интервальной

оценки математического ожидания, а именно
t’(1-p)/2 ≤ [(x-mx)/(Sx/√n)] < t’(1+p)/2
где t’(1-p)/2 и t’(1+p)/2 - квантили распределения Стьюдента, соответствующие вероятностям (1-p)/2 и (1+p)/2. Поскольку распределение Стьюдента симметрично относительно нуля, то t(1-p)/2 = - t(1+p)/2.

Слайд 19

Интервальная оценка математического ожидания
Следовательно
- t(1+p)/2 ≤ [(x-mx)/(Sx/√n)] < t(1+p)/2
После преобразования получаем

Слайд 20

Интервальная оценка дисперсии
Исходя из теоремы 1 можно записать, что
где Sx2

= D* - выборочная дисперсия; σх2 = D – фактическая дисперсия, n – длина ряда. После преобразований получим

Слайд 21

Интервальная оценка дисперсии
Из этого выражения можно получить также интегральную оценку

СКО.

Интервальное оценивание параметров ( лекция 7)

Содержание

Три теоремы математической статистикиСначала рассмотрим три теоремы математической статистики. Их суть

Распределение χ2 (Хи-квадрат)Теорема 1. Если Xi - независимые СВ, подчиняющиеся нормальному

Распределение χ2 (Хи-квадрат)Плотность вероятности распределения χ2 равнагде Г(•) – гамма –

Распределение χ2 (Хи-квадрат) Математическое ожидание и дисперсия распределения χ2 равны: mx

Распределение χ2 (Хи-квадрат) В случае, если ν > 30, то можно

Распределение χ2 (Хи-квадрат)В конечном итоге из изложенной выше теоремы следует, что(n-1)[S2x/σ2x]имеет

t - распределение (Стьюдента) Теорема 2. Если Z – нормированная нормально распределенная

t - распределение (Стьюдента)Плотность вероятности этого распределения определяется равенствомгде с(ν) -

t - распределение (Стьюдента)График функции плотности вероятностиМатематическое ожидание mt дисперсия Dt

t - распределение (Стьюдента)Из этой теоремы следует, что величина (хср. -

F – распределение (Фишера) Теорема 3. Если Z и U независимые СВ,

F – распределение (Фишера)Плотность вероятности F – распределения имеет вид где

F – распределение (Фишера) График плотности вероятности f(F) Математическое ожидание, дисперсия и

Интервальные оценки параметров распределения Интервальной оценкой параметра G называется интервал, границы которого

Интервальные оценки параметров распределения Используя функцию распределения выборочных значений параметра G, можно