Испытания Бернулли. Формула Бернулли

Испытания Бернулли. Формула Бернулли

Ответ на 1-й вопрос дает формула Бернулли:
- вероятность

Число сочетаний

Испытания Бернулли. Формула Бернулли

При ответе на 2-й вопрос по существу требуется определить

Испытания Бернулли. Формула Бернулли

Можно показать, что эти условия приводят к неравенству
Замечания:
1. k0

Испытания Бернулли. Формула Бернулли

Задача. Монета брошена 5 раз. Какова вероятность того, что

Испытания Бернулли. Формула Бернулли

2. Найдем k0 из неравенства
с учетом n = 5

Испытания Бернулли. Формула Бернулли

Т.о. имеем два наивероятнейших числа:
Поэтому должно быть
Убедимся

Использование противоположного события

При независимых многократных испытаниях для вычисления вероятности суммы событий

Использование противоположного события

Пусть – наступление события A в i-м испытании.
По определению,

Использование противоположного события

Противоположные события составляют полную группу, поэтому сумма их вероятностей

Использование противоположного события

По теореме умножения вероятностей независимых событий
где .
Итак,

Использование противоположного события

Задача. Три стрелка стреляют в цель с вероятностью успеха
Найти

Использование противоположного события

Событие
Вычислим вероятности противоположных событий:

Использование противоположного события

Тогда вероятность события B:

Распределения дискретных случайных величин

Все процессы, происходящие в природе, делятся на непрерывные

Рассмотрим вероятностное пространство (Ω, σ, Р), то есть
пространство элементарных исходов

Случайной величиной ξ (кси) называется произвольная функция, ставящая в соответствие каждому элементарному

Распределение дискретной случайной величины ξ

Пример

Два игрока играют в “орлянку” на следующих условиях: если при подбрасывании

Решение

Пространство элементарных исходов (событий) Ω состоит из двух исходов: ω1 –

Значения случайной величины

Функция распределения случайной величины

Функцией распределения (вероятностей) случайной величины ξ называется функция

Свойства функции распределения

1. Функция F(x) является ограниченной, то есть ее значения

3. Вероятность попадания случайной величины ξ на отрезок (x1, x2) определяется

Ряд распределения дискретной случайной величины числа выпавших очков при бросании кости

Функция распределения вероятностей выпадения очков при бросании кости

Кумулятивная вероятность распределения числа очков при бросании кости

Пример

В неком обществе организована лотерея. Разыгрываются две вещи стоимостью по $10

Решение

Искомая случайная величина X может принимать три значения:
-1, (если субъект

Закон распределения Х имеет вид

Виды распределений

Биноминальное распределение

является распределением числа успехов μ в n испытаниях Бернулли

Схема Бернулли

Рассмотрим последовательность независимых одинаковых испытаний: появление или не появление некоторого

Результат каждого опыта можно записать в виде последовательности УНН...У, “У” –

В силу независимости испытаний сопоставим каждому элементарному исходу ω = УННУ...У

Вероятность Рn(m) получить в n испытаниях ровно m успехов.

Данное выражение носит

Биноминальное распределение для n=5

Пример

Монета брошена 2 раза. Определить закон распределения случайной величины Х

При бросании монеты герб может появиться или 2 раза или 1

Пример

На зачете студент получил n = 4 задачи. Вероятность решить

В данном случае мы имеем дело с биноминальным законом:

Пуассоновское распределение

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших

Параметр пуассоновского распределения λ>0 определяет интенсивность поступления событий и определяется формулой:
λ

Распределение Пуассона носит также название закона редких событий, поскольку оно всегда

Формула Пуассона

Формула Пуассона применяется тогда, когда наряду с большим значением числа

Пример

Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что

По условию n =5000, р=0,0002, k=3.
Найдем λ= np =5000*0.0002=1
По формуле Пуассона

Пример

Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно

по условию λ=2, t=5, m=4.
По формуле Пуассона:
А) Вероятность, что за 5

Б) События «не поступило не одного вызова» и «поступил 1 вызов»

Геометрическое распределение

Пусть ξ – число испытаний, которое необходимо провести, прежде чем

Пример

Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность

По условию, р=0,6, q=0,4, k=3. Искомая вероятность определяется по формуле:

Продолжение примера

Производится стрельба по мишени до первого попадания (число патронов не

Случайная величина X – число сделанных выстрелов – имеет геометрическое распределение

Гипергеометрическое распределение

Дискретная случайная величина X имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает

где m=1, 2, ..., min {n, M}, m≤N, n≤N; n, N,

Гипергеометрическое распределение широко используется в практике статистического приёмочного контроля качества промышленной

Пример

В национальной лотерее "6 из 45" денежные призы получают участники,

Случайная величина X – число угаданных чисел среди случайно отобранных шести