Исследовательская работа. Тема:Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

Цель: освоить некоторые способы решения уравнений и неравенства содержащих знак

Определение модуля

Модулем (абсолютной величины) действительного числа а называется то самое число

Геометрический смысл модуля

В математике модулем числа а называется расстояние (в единичных

Свойства модуля

Свойство 1:│а│≥0
Пример: │3│>0, │-15│>0.
Свойство 2: │а│ = │-а│
Пример:

Свойство 4: │a-b│=│a│-│b│
Пример: │13-4│=│13│-│4│=9
Свойство 5: │a×b│=│a│×│b│
Пример: │5×3│=│5│×│3│=15, │8×(-4)│=│8│×│-4│=32
Свойство 6:

Решение уравнений, содержащих модуль

Пример
Найдите корни уравнения
│х2-4х-1│=4

Уравнения вида │f(x)│=│g(x)│
Уравнение вида │f(x)│=│g(x)│ равносильно уравнению:

Пример
Найдите сумму корней уравнения:
│x2-2x│=│1-2x│

Уравнения, представляющие алгебраическую сумму двух и более модулей, а именно │f1(x)│+│f2(x)│+…+│fn(x)=g(x),

Пример
Найдите корни уравнения:
│4х-х│+│2х-2│=5-2х
Находим значения х, при которых выражения под

Получили промежутки: (-∞;1]ᴜ(1;4]ᴜ(4;+∞)
Отметим, что │4х-х│+│2х-2│≥0, следовательно 5-2х≥0
5-2х≥0
2х≤5
х≤2,5
Получили новые промежутки:

Раскроем модули на каждом из промежутков:

(-∞;1]
│4-х│=4-х │2х-2│=-(2х-2)
4-х-(2х-2)=5-2х
4-х-2х+2=5-2х
-х-2х+2х=5-4-2
-х= -1
х=1 –

Решение неравенств, содержащих модуль

Неравенства вида │f(x)│˅ g(x), где ˅ - это один из знаков:

Неравенства вида │f(x)│˅│g(x)│, где ˅ - это один из знаков: ≥;

Пример
Решите неравенство
│5x+3│<│2x-1│
(5x+3)2<(2x-1)2↔(3x+4)(7x+2)<0
3x+4=0 7x+2=0

Графическое решение уравнений и неравенств

Пример
Постройте график функции
у=│х│
если х≥0, то │х│=х
если

Пример
Построить график функции
y=-x2+2│x│+3
если │x│=x, то y= -x2+2x+3, где х≥0
если │x│=-x,

Заключение

Метод интервалов: эффективность, небольшой объем работы.
Графический метод: широкое применение в других

Источники информации

Дорофеев Г. В. Подготовка к письменному экзамену за курс средней